Разомнем извилины?

Каким именно? Перечислите, пожалуйста.

Никакого абсурда нет. Всё это вполне однозначно, с точки зрения геометрии нет никаких противоречий.

Вот именно, что производители оборудования, а не геодезисты.

Условная система геодезических высот на расстояниях порядка 15 километров? А зачем она такая кому нужна? Не проще ли тогда спутниковыми приёмниками определять превышения как в WGS 84? Для целей геодинамики что-то такое может применяться, по-моему, поскольку там не принципиально важно в каком направлении определять смещения по высоте.

 

Для практических целей не нужна. Нужна она для сравнения формул, если мы подходим к этому сравнению строго и с абсолютным формализмом.

 

Переформулирую. Условная система геодезических высот в данной задаче вводится ввиду удобства её применения во время занятия геодезическим научным онанизмом.

«Теория без практики мертва» – А.В. Суворов ©

 

Решаю вторую часть задачи. Обратная линейно-угловая засечка. Определение плановых координат точки Т1.

Схема:


Исходные данные:
X_M19 = 1365.7350 м; Y_M19 = -1747.1120 м ;
X_M10 = 1041.8116 м; Y_M10 = -1847.9569 м ;
X_M21 = 1281.5898 м; Y_M21 = -1961.0910 м ;
X_M18 = 1494.8530 м; Y_M18 = -2068.4230 м .

Вычисленные линии от точки Т1 до исходных пунктов:

Измеренные на точке Т1 горизонтальные углы (номер угла соответствует номеру треугольника на схеме):

Вычисление линий исправленных за масштабную ошибку:

Окончательную масштабную поправку округлённо приму равной +10 ppm.
S_M19 = 204.3853 м + 204.3853 м / 100000 = 204.3873 м;
S_M10 = 322.1472 м + 322.1472 м / 100000 = 322.1504 м;
S_M21 = 66.3945 м + 66.3945 м / 100000 = 66.3952 м;
S_M18 = 188.9016 м + 188.9016 м / 100000 = 188.9035 м.

Получение координат точки Т1 из решения треугольника Δ1:

Решение (раскрыть) Решение (свернуть)

По т. синусов:
sin β_M18 / S_M19 = sin β₁ / S_18-19 ;
sin β_M18 = sin β₁ / S_18-19 ⋅ S_M19 = sin 123°21'09.5" / 346.2834 м ⋅ 204.3873 м = 0.493022 ;

sin β_M19 / S_M18 = sin β₁ / S_18-19 ;
sin β_M19 = sin β₁ / S_18-19 ⋅ S_M18 = sin 123°21'09.5" / 346.2834 м ⋅ 188.9035 = 0.455672.

По т. косинусов:
cos β_M18 = (S_M19² - S_18-19² - S_M18²) / (- 2 ⋅ S_18-19 ⋅ S_M18 ) = (204.3873² - 346.2834² - 188.9035²) / (-2 ⋅ 346.2834 ⋅ 188.9035) = 0.870015 ;
cos β_M19 = (S_M18² - S_18-19² - S_M19²) / (- 2 ⋅ S_18-19 ⋅ S_M19 ) = (188.9035² - 346.2834² - 204.3873²) / (-2 ⋅ 346.2834 ⋅ 204.3873) = 0.890146 .

Вычисление углов при вершинах М18 и М19:
tg β_M18 = sin β_M18 / cos β_M18 = 0.493022 / 0.870015 = 0.566682 ;
β_M18 = arctg 0.566682 = 29°32'22.0" .

tg β_M19 = sin β_M19 / cos β_M19 = 0.455672 / 0.890146 = 0.511907 ;
β_M19 = arctg 0.511907 = 27°06'29.6" .

Угловая невязка в треугольнике Δ1:
β₁ + β_M18 + β_M19 = 123°21'09.5" + 29° 32' 22.0" + 27° 06' 29.6" - 180° = +1.1" ;

Распределение угловой невязки в горизонтальные углы:
β_1испр. = β₁ - 0.4" = 123°21'09.5" - 0.4" = 123°21'09.1" ;
β_M18испр. = β_M18 - 0.4" = 29°32'22.0" - 0.4" = 29°32'21.6" ;
β_M19испр. = β_M19 - 0.3" = 27°06'29.6" - 0.3" = 27°06'29.3" .

Вычисление дирекционных углов сторон треугольника Δ1:
α_18-19 = 90° + arctg | ΔX_18-19 / ΔY_18-19 | = 90° + arctg | (1365.7350 м - 1494.8530 м) / (-1747.1120 м - -2068.4230 м) | = 111°53'33.4" ;
α_18-T1 = α_18-19 + β_M18испр. = 111°53'33.4" + 29°32'21.6" = 141°25'55.0" ;
α_T1-19 = α_18-T1 - 180° + β_1испр. = 141°25'55.0" - 180° + 123°21'09.1" = 84°47'04.1" ;
α_18-19 = α_T1-19 + β_M19испр. = 84°47'04.1" + 27°06'29.3" = 111°53°33.4" (контроль) .

Приращения координат:
Исходные: ΔX_18-19 = -129.1180 м ; ΔY_18-19 = +321.3110 м.
Вычисленные:
ΔX_18-Т1 = S_M18 ⋅ cos α_18-T1 = 188.9035 м ⋅ cos 141°25'55.0" = -147.6976 м ; ΔY_18-Т1 = S_M18 ⋅ sin α_18-T1 = 188.9035 м ⋅ sin 141°25'55.0" = +117.7707 м ;
ΔX_T1-19 = S_M19 ⋅ cos α_T1-19 = 204.3873 м ⋅ cos 84°47'04.1" = +18.5793 м ; ΔY_T1-19 = S_M19 ⋅ sin α_T1-19 = 204.3873 м ⋅ sin 84°47'04.1" = +203.5411 м ;
ΣΔX = -129.1183 м ; ΣΔY = +321.3118 м.
Координатные невязки: f_x = -0.0003 м ; f_y = +0.0008 м.

Распределение координатной невязки (пропорционально приращениям координат):
ΔX_{18-Т1 испр.} = ΔX_18-Т1 - f_x ⋅ |ΔX_18-Т1| / Σ|ΔX| = -147.6976 м + 0.0003 м ⋅ 147.6976 м / (147.6976 м + 18.5793 м) = -147.6973 м ;
ΔY_{18-Т1 испр.} = ΔY_18-Т1 - f_y ⋅ |ΔY_18-Т1| / Σ|ΔY| = 117.7707 м - 0.0008 м ⋅ 117.7707 м / (117.7707 м + 203.5411 м) = 117.7704 м ;
ΔX_{T1-19 испр.} = ΔX_T1-19 - f_x ⋅ |ΔX_T1-19| / Σ|ΔX| = 18.5793 м + 0.0003 м ⋅ 18.5793 м / (147.6976 м + 18.5793 м) = 18.5793 м ;
ΔY_{T1-19 испр.} = ΔY_T1-19 - f_y ⋅ |ΔY_T1-19| / Σ|ΔY| = 203.5411 м - 0.0008 м ⋅ 203.5411 м / (117.7707 м + 203.5411 м) = 203.5406 м .
ΣΔX_испр. = -129.1180 м ; ΣΔY_испр. = +321.3110 м (контроль).

Вычисление координат точки Т1:
X_T1 = X_M18 + ΔX_{18-Т1 испр.} = 1494.8530 м - 147.6973 м = 1347.1557 м ;
Y_T1 = Y_M18 + ΔY_{18-Т1 испр.} = -2068.4230 м + 117.7704 м = -1950.6526 м .

Ответ: X_T1 = 1347.1557 м ; Y_T1 = -1950.6526 м .

Решение остальных трёх треугольников расписывать не буду. Все эти строки ручных вычислений, конечно, выглядят красиво, особенно в наше время, но дело это достаточно долгое и утомительное. Просто перечислю, что у меня получилось из решения всех четырёх треугольников:

Треугольник Δ1: X_T1 = 1347.1557 м ; Y_T1 = -1950.6526 м .
Треугольник Δ2: X_T1 = 1347.1545 м ; Y_T1 = -1950.6531 м .
Треугольник Δ3: X_T1 = 1347.1541 м ; Y_T1 = -1950.6443 м .
Треугольник Δ4: X_T1 = 1347.1605 м ; Y_T1 = -1950.6519 м .

Окончательные (усреднённые) координаты точки T1: X_T1 = 1347.1562 м ; Y_T1 = -1950.6505 м .

 

А СКО чего не приложил? Тупо по набору (списку) координат Т1 Δ1-Δ4.

 

Нет СКО в упрощённых решениях. Оценка точности по невязкам и поправкам.

...

Надо немного не так угловую невязку раскидывать. Если поправки вычислять и вводить пропорционально величинам углов, то результаты будут такие...

Решение в Excel забил по-быстрому:


Например... Вот здесь я раскидал невязку в +1.1" просто поровну:

А нужно было вот так:
β_1испр. = β₁ - 0.4" = 123°21'09.5" - 1.1" ⋅ 123°/180° = 123°21'08.7" ;
β_M18испр. = β_M18 - 0.4" = 29°32'22.0" ⋅ 30°/180° = 29°32'21.8" ;
β_M19испр. = β_M19 - 0.3" = 27°06'29.6" ⋅ 27°/180° = 27°06'29.4" .

Раз уж углы в треугольнике вычисляются из сторон треугольников, которые... как бы выразиться... "задают масштаб" углам треугольника, то вполне логично, чтобы и поправки в углы вводились пропорционально их величине (масштабу).

 

Неплохо. Усидчивостью Вы не обделены.

Разница со строгим решением по мнк:
0.7 мм по Х
2.6 мм по Y
что, вероятно, - хороший результат для упрощенного расчета.

Осталась только отметка Т1 )))

 

Зависит от величин невязок. Чем они больше, тем больше и... "вариативность" для упрощённых схем уравнивания. Невязки можно раскидывать по-разному (пример чуть выше). Это одновременно и достоинство, и недостаток. С одной стороны, выбрав достаточно обоснованное правило распределения невязок можно получить вполне приемлемое решение, а с другой - в решении отсутствует однозначность.

Также можно вручную назначать веса, причём не только самим измерениям, но и их функциям (координатам) из различных вариантов решения. В данном случае под "вариантами" имеются в виду 4 треугольника. Я пропустил этот момент, чтобы ускорить решение. Хотя по-хорошему, треугольникам, в которых есть сторона Т1-М21 надо назначать меньший вес. Примерно вдвое меньший. Тогда по первоначальному варианту с распределением угловой невязки поровну во все углы треугольников будет так:

А по второму варианту с распределением угловой невязки пропорционально величинам углов будет так:

Ну там всё совсем просто. Определение горизонта инструмента от каждого из четырёх исходных пунктов. Затем спуститься вниз на величину высоты инструмента. Единственная "премудрость" - учёт кривизны Земли. Завтра дорешаю.

 

Оффтоп

Нашёл следующие краткие сведения:
«СЕПУЛЬКИ — важный элемент цивилизации ардритов (см.) с планеты Энтеропия (см.). См. СЕПУЛЬКАРИИ».
Я последовал этому совету и прочёл:
«СЕПУЛЬКАРИИ — устройства для сепуления (см.)».
Я поискал «Сепуление»; там значилось:
«СЕПУЛЕНИЕ — занятие ардритов (см.) с планеты Энтеропия (см.). См. СЕПУЛЬКИ».
— С. Лем. «Звёздные дневники Ийона Тихого. Путешествие четырнадцатое»
«... сепульки очень похожи на муркви, а своей цветовой гаммой напоминают мягкие пчмы. Разумеется, их практическая функция другая, но думаю, Вам, как человеку взрослому, мне не нужно этого объяснять»

«Я ведь не из зависти — я так,
Ради справедливости — и только.»
Теории плоской Земли, как теории не существует. Она даже на гипотезу не тянет, ибо опровергается опытом.

 

Не вникал в строгие расчёты, но бросилось в глаза, что Вы в расчётах под горизонтальным проложением имеете в виду хорду, в то время как Leica и Sokkia на своих рисунках изображают дугу. Несоответствие получается.

Кстати сказать, оказывается у нас ранее не правильно (не по ГОСТу) вычислялись все базисы, измеряемые проволоками. Ведь там горизонтальные проложения всех 24-метровых отрезков вычислялись через превышения их концов, полученных геометрическим нивелированием (то есть от уровенной поверхности) и таким образом пороложение каждого из отрезков приводилось на определённую высоту уровенной поверхности. И в итоге суммирования горизонтальное проложение базиса получалось не на какой-то плоскости, а на уровенной поверхности (в виде дуги), то есть аналогично тому, как это сейчас вычисляется электронными тахеометрами.

 

С тем, что лейка изображает дугу - согласен, это очевидно на их рисунке.
С Sokkia же не всё так однозначно. Как по мне, то на этом рисунке

через D обозначена хорда АС, а не дуга.
С учетом Ваших замечаний, а также принимая, что у Sokkia D - это всё же хорда, будем иметь:

 

Оффтоп

Замечательный утрированный пример смысловой рекурсии. Но совершенно не в тему.

На расстоянии 24 м отвесные линии можно принимать параллельными. Отличие меж их направлений, вероятно, не составит и одной угловой секунды. Нивелирование штативов при измерении базисов осуществлялось по методике IV класса, и вот эта 1" там даже в теории незаметна. Хотя бы потому, что вы её в трубу на рейке не разглядите, не говоря уже о других погрешностях измерений. Поэтому на практике считается, что один такой отрезок является горизонтальным проложением (на плоскости). Это у вас юмор такой? Не пойму. Если да, то попрошу пользоваться, по крайней мере, смайликами. На линии в 24 м рассуждать о влиянии кривизны Земли - это действительно смешно.

Единственная здравая мысль здесь - да, сумма горизонтальных проложений даёт возможность в данном случае вычислить длину линии уровенной поверхности, которую потом можно редуцировать на эллипсоид. И далее... базисная сеть (в т.ч. астропункты и гравиметрия) -> выходная сторона -> триангуляция.

 

И эта суммарная длина на уровенной поверхности является (считается) горизонтальным проложением базиса. Вот такое противоречие с ГОСТом.

Тогда вот, чудом сохранились старые расчёты на эту тему:

Как можно заметить, хотя разные формулы, все сходятся на одном решении (и понятии) горизонтального проложения. У Trimble есть незначительное отличие в превышении.
А до 3 км решение у всех практически идентичное:

 

Кем считается? Только вами, или же кем-то ещё? Геодезическая линия уровенной поверхности лежит (подумать только!) на уровенной поверхности. Горизонтальное проложение - в горизонтальной плоскости.

Нет никаких противоречий.

 

По моим расчётам - отличий нету, если используется эта формула (из инструкции к TS525):

 

Решаю третью часть задачи. Определение высотной отметки точки Т1.

Схема:


Исходные данные:
H_M19 = 234.3440 м ;
H_M10 = 260.2500 м ;
H_M21 = 238.8670 м ;
H_M18 = 227.2620 м .

Измеренные (без каких-либо поправок) горизонтальные проложения и превышения с точки Т1 до исходных пунктов:

Вычисление масштабных поправок (масштаб +10 PPM):
Δh_М19 = 20.8123 м / 100000 = 0.0002 м;
Δh_М10 = 46.7189 м / 100000 = 0.0005 м ;
Δh_М21 = 25.3400 м / 100000 = 0.0003 м ;
Δh_М18 = 13.7317 м / 100000 = 0.0001 м .

Вычисление поправок в превышения за влияние кривизны Земли:
Δh_М19 = √ (R² + S₁₉²) - R = √ (6371000² + 204²) - 6371000 = 0.0033 м ;
Δh_М10 = √ (R² + S₁₀²) - R = √ (6371000² + 322²) - 6371000 = 0.0081 м ;
Δh_М21 = √ (R² + S₁₀²) - R = √ (6371000² + 66²) - 6371000 = 0.0003 м ;
Δh_М18 = √ (R² + S₁₈²) - R = √ (6371000² + 189²) - 6371000 = 0.0028 м .

Исправленные превышения:
h_{М19 испр.} = 20.8123 м + 0.0033 м + 0.0002 м = 20.8158 м ;
h_{М10 испр.} = 46.7189 м + 0.0081 м + 0.0005 м = 46.7275 м ;
h_{М21 испр.} = 25.3400 м + 0.0003 м + 0.0003 м = 25.3406 м ;
h_{М18 испр.} = 13.7317 м + 0.0028 м + 0.0001 м = 13.7346 м .

Определение горизонта инструмента от каждого из исходных пунктов:
H_{i М19} = H_М19 - h_{М19 испр.} = 234.3440 м - 20.8158 м = 213.5282 м ;
H_{i М10} = H_М10 - h_{М10 испр.} = 260.2500 м - 46.7275 м = 213.5225 м ;
H_{i М21} = H_М21 - h_{М21 испр.} = 238.8670 м - 25.3406 м = 213.5264 м ;
H_{i М18} = H_М18 - h_{М18 испр.} = 227.2620 м - 13.7346 м = 213.5274 м .

Вычисление весов (обратно пропорционально расстоянию до исходных пунктов) величин H_i .
Вес H_{i М21} уменьшен в 2 раза ввиду грубого измерения наклонного расстояния:
P_М19 = 200 м / S_M19 = 200 м / 204.39 м = 0.979 ;
P_М10 = 200 м / S_M10 = 200 м / 322.15 м = 0.621 ;
P_М21 = 200 м / S_M21 = 200 м / 66.39 м / 2 = 1.506 ;
P_М18 = 200 м / S_M18 = 200 м / 188.90 м = 1.059 .

Вычисление среднего весового горизонта инструмента:
H_{i ср.}= ∑ (P ⋅ H_i ) / ∑ P = 213.5265 м .

Вычисление отметки точки Т1:
H_T1 = H_{i ср.} - h_i = 213.5268 м - 1.6 м = 211.9265 м .

--- Сообщения объединены, 3 дек 2021, Оригинальное время сообщения: 3 дек 2021 ---

Мои окончательные ответы на задачу такие (убраны незначащие цифры):

Масштабная ошибка: -10 PPM .
Плановые координаты точки Т1: X = 1347.156 м ; Y = -1950.651 м .
Высотная отметка точки Т1: H = 211.926 м .

 

https://jessekozlowski.wordpress.co...instruments-curvature-refraction-corrections/

и пройтись по тегам

 

Ничего нового для себя не нашел. Все эти формулы я протестировал, и все они дают одинаковые результаты. Отличие от строгого расчета есть, но оно незначительно.

--- Сообщения объединены, 3 дек 2021, Оригинальное время сообщения: 3 дек 2021 ---

Знак не перепутали? )

 

Нет, не перепутал. Ошибка -10 PPM:

А поправка, соответственно, +10 PPM.

 

Вполне возможно, что в разные годы применялись разные формулы. Ну, для решения превышения точность формул более чем достаточна, учитывая то, что на самом деле куда большие ошибки получаем от собственно измерений углов наклона и от трудно учитываемого коэффициента вертикальной рефракции.
Непонятно, почему столь единодушное решение горизонтального проложения разными фирмами (14766,0778 м) не совпадает с точным решением ни дуги, ни хорды, ни проекции на горизонтальную плоскость станции? А ведь задача не слишком сложная.