К формульному пересчету прямоугольных координат из МСК в геодезические на поверхности эллипсоида

Тема в разделе "Геодезия как наука", создана пользователем Georg Keneberg, 13 сен 2020.

  1. Georg Keneberg

    Georg Keneberg Форумчанин

    Добрый день!
    Возникла потребность формульного пересчета при заданных прямоугольных координатах точки (X,Y) и информации о применяемой системе координат (параметрах осевого меридиана, ложного северного и ложного восточного смещения и широте начала =0)

    Мне не интересны имеющиеся приложения-калькуляторы или веб-конвертеры - интересует методология счета. Ниже я привожу свое видение этого итеративного процесса и вопрошаю вас - верно ли я мыслю?
    1. За основу возьмем эллипсоид Красовского, и рассмотрим разрез в районе Осевого меридиана [для данной МСК], величина FN как я понимаю - это длина дуги эллипса от нуля [экватора] до некой точки, где находится "ноль" данной МСК
    upload_2020-9-13_18-11-13.png
    "некая точка"будет считаться как величина верхнего предела интегрирования для выражения длины дуги эллипса (неполный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода):
    upload_2020-9-13_18-36-48.png
    upload_2020-9-13_18-17-49.png , где t1 =0, t2 = искомая "некая точка", l= FN
    2. Далее рассматриваем разрез эллипсоида плоскостью параллельной экватору (по сути, круг) на отметке широты = "некой точки" t2, и аналогично предыдущему случаю выражаем предел интегрирования t' от величины l = FE.
    Теперь у нас есть координаты центра данной МСК (широта/долгота)
    3. Любая точка данной МСК имеет прямоугольные координаты X'',Y'' - следовательно, для нахождения их широт/долгот также применяются независимо друг от друга эллиптические интегралы, величина функций которых (длина) равна скалярной величине значений координат, а искомые пределы интегрирования высчитываются уже исходя из данной информации (при этом нижний предел интегрирования всегда = 0).
    Примечание: также, наверное, возникнет сложность с ориентацией в пространстве осей системы координат для каждой из итераций подсчета элл. интегралов (чтобы соблюсти величину нижнего предела интегрирования =0 для просты счета)

    4. Итог расчета (3) - это, как я вижу, геодезические координаты пусть СК-42/63/95 на эллипсоиде Красовского, которые можно перевести в геодезические на элл. WGS-84 при помощи "общедоступных" параметров датума..

    Вопрос - это верные логические рассуждения для расчета, которые будут заданы в коде и в виде небольшого приложения? Я бы мог проверить вручную, но намертво застрял на приведении эллиптического интеграла к вычисляемуму виду (стр.24 отсюда).
     
    Последнее редактирование: 13 сен 2020
  2. zvezdochiot

    zvezdochiot Форумчанин

    А в ряд Тейлора не пытался разложить? Да, это будет приближение, но сходимость всегда можно проверить.
     
  3. trir

    trir Форумчанин

    Максим и В.Шуфотинский нравится это.
  4. Georg Keneberg

    Georg Keneberg Форумчанин

    trir, спасибо, буду сидеть разбираться со статьей!
    zvezdochiot, то есть взять первообразную от той функции и далее уже считай F(t2) раскладываться в ряд, приравнивая к величине данной функции [длине дуги = FN]? Честно признаться, напрямую не работал никогда раньше с серьезной математикой - это первый "опыт", потому возможно глупые вопросы задаю
     
  5. zvezdochiot

    zvezdochiot Форумчанин

    Почему глупые? Есть золотое правило: "Нех думать, спрашивать надо."

    В качестве примера разложения приведу расчёт переходной кривой:
    * http://mykaralw.narod.ru/articles/spiralcircle/index.html
    * http://mykaralw.narod.ru/articles/spiralcirclewxmaxima/index.html
     
  6. stout

    stout Форумчанин

    КГ/АМ. А как ещё можно охарактеризовать альтернативно одарённого автора с гипертрофированным ЧСВ, если зная о наличии таблиц, он не удосужился сравнить вычисления по своим "формулам" с табличными значениями? Откройте любой онлайн-калькулятор, например этот и сравните его "вычисления" с правильным результатом.
    Посмотрите простенькие наброски Как определить расстояние на местности по координатам в проекции Гаусса-Крюгера
     
  7. Georg Keneberg

    Georg Keneberg Форумчанин

    Добрый вечер, решил пойти немного с другой стороны. Статья Charles F. F. Karney "Transverse Mercator with an accuracy of a few nanometers" безусловно содержит познавательные сведения, но ряд содержащихся там понятий аки функции Гудермана и Якоби для меня слишком сложно наряду с прочими функциями. Во всяком случае, я решил обратиться к более простой методике, (чтобы постепенно понять что написано в той статье). изложенной на странице 49 здесь. И вот там есть интересное разложение в ряд:
    upload_2020-9-15_0-7-12.png
    Мне вот интересно - а что это такой за ряд с увеличивающимися аргументами синуса? Я пробовал посчитать вслед за авторами в Matchcad и есть интерес как бы увеличить точность данного разложения (чисто теоретический интерес).
     
  8. stout

    stout Форумчанин

    Полный разбор в статье Рода http://www.mygeodesy.id.au/documents/Meridian Distance.pdf
    Там, http://www.mygeodesy.id.au вообще много чего интересного. В том числе и совместные статьи/доклады с автором GeographicLib
    Но у меня лучше формулы ::laugh24.gif::
    MyArcMer.gif
    --- Сообщения объединены, 15 сен 2020, Оригинальное время сообщения: 15 сен 2020 ---
    Вот график относительной точности. Методическая точность последней формулы с тремя членами ряда (N = 3 и ΔE = 0) выше точности, которую может обеспечить вычисление с long double. А для вычисления арктангенса можно использовать ряд Маклорена с 3 членами ряда, что намного быстрее встроенной функции.
    Rel_Error_ArcMer.png
     
    мирось, Georg Keneberg и кит нравится это.
  1. Этот сайт использует файлы cookie. Продолжая пользоваться данным сайтом, Вы соглашаетесь на использование нами Ваших файлов cookie.
    Скрыть объявление
  1. Этот сайт использует файлы cookie. Продолжая пользоваться данным сайтом, Вы соглашаетесь на использование нами Ваших файлов cookie.
    Скрыть объявление