К формульному пересчету прямоугольных координат из МСК в геодезические на поверхности эллипсоида

Добрый день!
Возникла потребность формульного пересчета при заданных прямоугольных координатах точки (X,Y) и информации о применяемой системе координат (параметрах осевого меридиана, ложного северного и ложного восточного смещения и широте начала =0)

Мне не интересны имеющиеся приложения-калькуляторы или веб-конвертеры - интересует методология счета. Ниже я привожу свое видение этого итеративного процесса и вопрошаю вас - верно ли я мыслю?
1. За основу возьмем эллипсоид Красовского, и рассмотрим разрез в районе Осевого меридиана [для данной МСК], величина FN как я понимаю - это длина дуги эллипса от нуля [экватора] до некой точки, где находится "ноль" данной МСК

"некая точка"будет считаться как величина верхнего предела интегрирования для выражения длины дуги эллипса (неполный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода):

, где t1 =0, t2 = искомая "некая точка", l= FN
2. Далее рассматриваем разрез эллипсоида плоскостью параллельной экватору (по сути, круг) на отметке широты = "некой точки" t2, и аналогично предыдущему случаю выражаем предел интегрирования t' от величины l = FE.
Теперь у нас есть координаты центра данной МСК (широта/долгота)
3. Любая точка данной МСК имеет прямоугольные координаты X'',Y'' - следовательно, для нахождения их широт/долгот также применяются независимо друг от друга эллиптические интегралы, величина функций которых (длина) равна скалярной величине значений координат, а искомые пределы интегрирования высчитываются уже исходя из данной информации (при этом нижний предел интегрирования всегда = 0).
Примечание: также, наверное, возникнет сложность с ориентацией в пространстве осей системы координат для каждой из итераций подсчета элл. интегралов (чтобы соблюсти величину нижнего предела интегрирования =0 для просты счета)

4. Итог расчета (3) - это, как я вижу, геодезические координаты пусть СК-42/63/95 на эллипсоиде Красовского, которые можно перевести в геодезические на элл. WGS-84 при помощи "общедоступных" параметров датума..

Вопрос - это верные логические рассуждения для расчета, которые будут заданы в коде и в виде небольшого приложения? Я бы мог проверить вручную, но намертво застрял на приведении эллиптического интеграла к вычисляемуму виду (стр.24 отсюда).

 

А в ряд Тейлора не пытался разложить? Да, это будет приближение, но сходимость всегда можно проверить.

 

Литература же есть, где это всё прекрасно разобранно. Да и можно же взять готовые исходниики
Transverse Mercator with an accuracy of a few nanometers
https://arxiv.org/pdf/1002.1417.pdf
https://arxiv.org/abs/1002.1417#:~:...ovides an,also computed with similar accuracy.
https://geographiclib.sourceforge.io/tm.html

 

trir, спасибо, буду сидеть разбираться со статьей!
zvezdochiot, то есть взять первообразную от той функции и далее уже считай F(t2) раскладываться в ряд, приравнивая к величине данной функции [длине дуги = FN]? Честно признаться, напрямую не работал никогда раньше с серьезной математикой - это первый "опыт", потому возможно глупые вопросы задаю

 

Почему глупые? Есть золотое правило: "Нех думать, спрашивать надо."

В качестве примера разложения приведу расчёт переходной кривой:
* http://mykaralw.narod.ru/articles/spiralcircle/index.html
* http://mykaralw.narod.ru/articles/spiralcirclewxmaxima/index.html

 

КГ/АМ. А как ещё можно охарактеризовать альтернативно одарённого автора с гипертрофированным ЧСВ, если зная о наличии таблиц, он не удосужился сравнить вычисления по своим "формулам" с табличными значениями? Откройте любой онлайн-калькулятор, например этот и сравните его "вычисления" с правильным результатом.
Посмотрите простенькие наброски Как определить расстояние на местности по координатам в проекции Гаусса-Крюгера

 

Добрый вечер, решил пойти немного с другой стороны. Статья Charles F. F. Karney "Transverse Mercator with an accuracy of a few nanometers" безусловно содержит познавательные сведения, но ряд содержащихся там понятий аки функции Гудермана и Якоби для меня слишком сложно наряду с прочими функциями. Во всяком случае, я решил обратиться к более простой методике, (чтобы постепенно понять что написано в той статье). изложенной на странице 49 здесь. И вот там есть интересное разложение в ряд:

Мне вот интересно - а что это такой за ряд с увеличивающимися аргументами синуса? Я пробовал посчитать вслед за авторами в Matchcad и есть интерес как бы увеличить точность данного разложения (чисто теоретический интерес).

 

Полный разбор в статье Рода http://www.mygeodesy.id.au/documents/Meridian Distance.pdf
Там, http://www.mygeodesy.id.au вообще много чего интересного. В том числе и совместные статьи/доклады с автором GeographicLib
Но у меня лучше формулы

--- Сообщения объединены, 15 сен 2020, Оригинальное время сообщения: 15 сен 2020 ---

Вот график относительной точности. Методическая точность последней формулы с тремя членами ряда (N = 3 и ΔE = 0) выше точности, которую может обеспечить вычисление с long double. А для вычисления арктангенса можно использовать ряд Маклорена с 3 членами ряда, что намного быстрее встроенной функции.