Вопрос об использовании формул по ГОСТ 32453-2017

Всем доброго времени суток!
Пару лет назад я использовал указанный в заголовке гост для прокладки маршрута по карте, и всё было неплохо, но теперь я узнал, что ГОСТ-то этот, как бы я его назвал, "ограниченно рабочий". Я понимаю, что в ГОСТе так и написано: ".. принятый на территории Российской Федерации ..", однако думается мне, что формулы именно наилучшим образом работают в этих широтах/долготах, и в целом не находящиеся в Евразии координаты не должны их смущать.
Тем не менее, я полагаю, что я просто чего-то не понимаю, и именно в этом прошу помощи - разобраться.
Итак, к сути. Мне нужно переместиться из точки с координатами [B, L] ([широта, долгота]) по определённой траектории со строго определённой конечной длиной и получить координаты этой траектории в тех же геодезических координатах. Как я вижу этот процесс: берём исходную точку ([B₁, L₁]) и разворачиваем около неё прямоугольную систему координат ([x₁, y₁]) -> вырисовываем плоскую траекторию по точкам, начиная с [x₁, y₁] и заканчивая [x_кон, y_кон] (через простое сложение/вычитание/делание_всего_нужного с плоскими координатами) -> переводим весь массив плоских координат [x_i, y_i] в геодезические [B_i, L_i]. Звучит неплохо, но не работает; эксперименты показали, что если в составлении плоской траектории не выходить за пределы того лепестка, в котором лежит точка [B₁, L₁], то всё будет хорошо, но если выйти за них - перевод перестаёт работать. Продолжив эксперименты, я обнаружил, что если после каждого шага в прямоугольных координатах "складывать/раскладывать" сетку (переводить [x_i, y_i] в [B_i, L_i], после чего снова переводить [B_i, L_i] в прямоугольные координаты и продолжать двигаться по плоской траектории), то не имеет значения, сколько "межлепесточных" зон будет пересечено - всё будет работать корректно, однако шаг движения в плоских координатах должен быть не очень большим.
Теперь к конкретике. Возьмём координаты [0, 0] и разложим около них сетку по формулам из ГОСТа - [0, 1165882.140861099]. Переместимся на восток на 1000 км - [0, 2165882.140861099]. "Сложим" плоские координаты обратно - [0, 0.104719755124764] (или [0 град., 6 град]) - ШО-ТО не сходится, по-моему - между начальными и конечными координатами ~669 км, а хотелось бы тысячу увидеть, вообще-то. Хорошо, попробуем пошагать шагами помельче с перераскладкой координат - [0 град., 0 град.]->[0 км, 1165882.140861099 км]; 400 км на восток: [0 км, 1565882.140861099 км] -> [0 град., 3.5918 град.] и разложим снова -> [0 км, 1565882.140882639 км]; ещё 300 км на восток: [0 км, 1865882.140882639 км] -> [0 град., 6.2849 град.] и разложим снова -> [0 км, 2197638.089965548 км]; и ещё 300 км на восток: [0 км, 2497638.089965548 км] -> [0 град., 8.9788 град.]. Расстояние между начальной и конечной точками - 1000 (с копейками) км - СОШЛОСЬ.
Откровенно говоря, Я ВООБЩЕ НЕ ПОНИМАЮ, что именно происходит. Я замечаю некоторый скачок в значениях плоских координат при переходе в новую зону, но с чем он связан я так и не смог понять; координаты [0 км, 1865882.140882639 км] и [0 км, 2197638.089965548 км] ([0 град., 6.2849 град.]), получается, являются описанием одной и той же точки, однако это же совершенно разные координаты, нет? Математически между этими координатами 332 км, но формулы так не думают, но почему? Или же более важный для меня вопрос - неужели нельзя одним длинным шагом пересекать границы лепестков без ущерба для точности?
Быть может, есть иные (Омериканские, Евросоюзские или Японские, например, ведь на ГОСТах свет клином не сошёлся) руководящие документы, лучше описывающие правила преобразований и не заставляющие меня перераскладывать координаты?
И, если позволите, ещё пара вопросов. Правильно ли я понимаю, что отрицательных долгот ГОСТ корректно воспринимать не обучен, и непременно требуется переводить долготы из вида [-L] в вид [360-L]? И как я мог бы построить, например, окружность радиусом 1500 км с центром в точке [B, L]? Допустим, к геометрическому месту точек окружности я смогу добраться, например, через пошаговое следование на восток по схеме выше, но смогу ли я использовать прямоугольные координаты точки центра и любой точки на окружности для нахождения остальных точек через поворот матрицей плоского поворота точки вокруг другой точки?
Заранее благодарю за любую помощь!
P.S. Если кто-то может дать ответ также и на незаданные вопросы, которые смогут привести к "великому прозрению", моя благодарность не будет знать границ :D​

 

В.Шуфотинский, благодарю Вас за ответ, но

я видел этот ресурс, и здесь одна вода; ну, объективно, конкретики здесь нет. Например: (3й и 2й снизу абзац на странице 2) "Во-первых, в данной системе координат возникают трудности при математической обработке .." - здорово, что трудности возникают, очень рад; делать-то что (риторический вопрос)? "При этом действительные и условные координаты связаны соотношениями x’=x, y’=n*106 +5*105 +y" - очень интересно, но ничего не понятно; здорово, что эти координаты связаны такими соотношениями, что ничего не меняется (вот эти два-три километра (n*106 +5*105) из многих сотен тысяч, заложенных в y, конечно же, всё изменят, верю). Ни пояснений, откуда это, ни разъяснений, шо с этим счастьем делать.

Так я же поэтому и написал на этот форум :) Я понимаю, что что-то упускаю, но даже ГОСТ не пишет, какие есть ограничения для приводимых формул, а другим сайтам веры особой нет (да и полезного они ничего не пишут зачастую (либо постоянно приводится одно и то же, но разными словами от сайта к сайту)).
Видите ли, какая штука - неделю назад я нашёл в интернетах документ (какого-то студента, кажется), в котором приведены какие-то "левые" формулы перевода в Гаусса-Крюгера и обратно, но без всяких сдвигов и жёстких привязок к зонам; там нет поправок (dB и dL), там не происходит ничего из того, что показано в ГОСТе, но есть несколько НО: 1. непонятно, откуда эти формулы взялись (в работе они представлены как данность); 2. непонятно, на каком эллипсоиде всё происходит (по цифрам - Красовский последней ревизии, но де-факто там есть непонятные цифры, которых нет в характеристиках этого эллипсоида); 3. имеет место полупостоянная ошибка в 5% по долготе, принимающая своё максимальное (от нуля процентов) значение на расстоянии в 1000 км, иными словами, в пределах 0-500 км ошибка составляет менее процента, после чего она растёт в зависимости от расстояния, но на 7500 км удаления от исходной точки ошибка всё ещё ~300 км. По большому счёту, поэтому я и спросил также и о стандартах других стран, ведь там могут использоваться более универсальные, чем ГОСТовские, но более точные, чем рандомные из интернетов (как вышеупомянутый), алгоритмы.

 

Почему бы и нет :)

Я строю маршрут движения самолёта (ЛА), движущегося на одной высоте (то есть, высоты меня не интересуют совсем) по довольно сложной и длинной траектории. Эта траектория, в частности, предполагает разворот на 180 градусов по радиусу в 1500 км. Не так давно я нашёл аналитическое решение для перемещения по планете на заданное расстояние при фиксированной начальной точке и широте конечной точки, но оно настолько сложное, шо, наверное, можно по-другому (я и предполагал, что прямоугольная раскладка мне и поможет проходить по карте чётко заданное расстояние).
В общем-то, вот и вся логика - нужно перемещать объект по карте на большие расстояния строго определённым образом, получая на выходе траекторию в геодезических координатах. Я не нашёл способа сделать всё это дело на круглой Земле с приемлемой (<1% конечной ошибки расстояний) точностью.

 

Не совсем понял Ваш вопрос, но больше ближе к "по карте".

 

По карте :)

 

Так, к слову. Весь периметр экватора эллипсоида Красовского
40 075.6952696 км

Вам надо смотреть в сторону прямой геодезической задачи (direct and inverse geodetic problems). Алгоритмов и их реализаций – море разливанное. Я бы порекомендовал https://geographiclib.sourceforge.io Есть немного теории и реализации на всех живых языках программирования.
Online geodesic calculations
Посмотрите также статью
https://www.researchgate.net/public...ems_on_the_Ellipsoid_by_Numerical_Integration

Не поможет. Вот график того, что в картографии называют искажение длин (для проекции Гаусса-Крюгера) в зависимости от геодезической широты и удаления от осевого меридиана.

Конечно, можно было бы поиграться с равнопромежуточными проекциями (equidistant projection). Но нафига это надо?

 

Вся карта?)) Или слово "масштаб" употреблено в буквальном смысле?

Да, да, опечатка - там метры.

Ну вот непонятно - идея Гаусса-Крюгеровская идея раскладки карты, как я понял, в том и заключается, что искажений длин и площадей не будет (в разумных пределах), ведь прямоугольная сетка накладывается поверх разложенных шестиградусных лепестков, а координаты пустых промежутков между ними игнорируются расчётами (а любые картографические проекции стараются эти промежутки чем-то заполнить и использовать). Я вижу это дело именно так, поскольку ничто не указывает на что-то иное.

Спасибо Вам большое за ссылки и график (ссылки я внимательнейшим образом изучу), однако график мало для чего нужен, ведь в ГОСТе постоянно происходит пересчёт номера зоны, и не предполагается удаление от осевого меридиана на расстояние больше трёх градусов. Я, конечно, понимаю, как именно нужно использовать этот график, однако в рамках ГОСТовских формул эти поправки видятся несущественными.

Я правда не понимаю, для чего всё это. Вот выхожу я из дома и иду: 10 км на север, 20 км на запад, 50 км на северо-запад, 100 км на юго-запад, 200 км на юг. Окажусь я в конкретной точке с заведомо известными координатами, и дело далеко не в том, как на плоскости отобразить проекцию траектории моего перемещения по эллипсоиду, разве нет? Проекции проекциями, но ведь это всего лишь способ нанести что-либо на плоскую карту, а у меня таких целей-то и нет - я и глобусом воспользуюсь для отображения :D (особенно, с учётом того, что картографические проекции Меркатора, Эккерта (IV), азимутальная и т.д. отрисовывают одну и ту же траекторию так, что в одной проекции линия проходит восточнее Бразилии, а в другой - западнее (при том, шо де-факто истинная траектория проходит по Бразилии) - я ещё некоторое время ломал голову, выискивая ошибку, которой, оказывается, и не было; поэтому я предпочёл бы абстрагироваться от картографических проекций и сосредоточиться на непосредственном пересчёте координат).

Всё несколько сложнее. Заказчик был два года назад (и то, им был преподаватель-руководитель учебно-исследовательского проекта), и тогда я решил задачу при помощи пары костылей, да и масштабы задачи были поскромнее (удаление от исходной точки находилось в пределах 500 км), поэтому на карте и глобусе траектория выглядела пристойно. Однако задача осталась нерешённой, и это меня мучит. Сейчас я вернулся к этим "исследованиям" на добровольных началах и обнаружил, что всё немного грустнее, чем мне казалось тогда, о чём и я написал в топике. Можно сказать, что в данный момент это хобби с некоторым потенциалом на будущее.

 

Такого не бывает в принципе. Основная идея равноугольной проекции Гаусса-Крюгера – отсутствие искажений в углах для бесконечно малых фигур. К сожалению, о выделенным жирным шрифтом сейчас забывают писать даже в учебниках. Очень удобна эта проекция для навигации: вдоль береговой линии, во фьордах и шхерах.

Нет никаких промежутков и, следовательно, их не надо заполнять.

Строго говоря, это совсем не так.

Нет. Как вы узнали что прошли ровно 10 км и строго на север, не отклоняясь ни на йоту?

 

Оффтоп

Добавлю, что искажения направлений вполне себе реальных линий там тоже невелики. Например, в 200 километрах от осевого меридиана линия, имеющая приращение координат по оси X около 300 км будет иметь искажение направления величиной 2.5'. Да, для навигации вполне удовлетворительно.

 

Тогда складывается резонный вопрос - а на кой нужна такая проекция?) Само существование бесконечно малых фигур под большим вопросом, не говоря уж об их использовании. Да и для околонулевых длин и площадей не любая ли проекция будет удовлетворять условию отсутствия искажений? Ноль всегда ноль, разве нет?

Возможно, Вы меня не так поняли. Я о белых участках между лепестками на рисунке ниже:

, которые в проекции, например, Меркатора, как я понимаю, просто закрашиваются по интерполяции.

Расскажете, почему именно?

Тоже верно, конечно, поэтому давайте я скорректируюсь - не окажусь ли я в некоторой области точки, в которую планировалось прибытие? В идеале, я окажусь в точке, но различные ошибки и погрешности приведут меня не к ней, но в её область (размер которой будет зависеть от точности приборов, видимо). Суть-то именно в том, что конечная область в любом случае существует, и попадание в неё наверняка можно предсказать.

Скажите пожалуйста, это именно искажение направления как азимутальной составляющей отрезка пути, либо это чистое искажение (видимо, в меньшую сторону) длины отрезка пути?

Придётся Вам поверить, спасибо за ссылку!

А что Вы имеете в виду под разными масштабами? Я действительно не понимаю, к чему именно здесь применяется эта конструкция.

 

Это искажение именно "в азимутальной составляющей". Или, правильнее будет сказать, искажение дирекционного угла. Характер этого искажения можете видеть вот в этом фрагменте лекции по теории плоских карт:



Если по-простому, то линия Q₁ - Q₂ в проекции на самом деле кривая, но по карте мы видим её как прямую. Поэтому, чтобы от направления на карте перейти к направлению в действительности, мы должны учитывать вот эту поправку δ_1-2. Если линия находится к востоку от осевого меридиана, то поправка положительна. Если к западу - отрицательна.

Полную лекцию можете найти вот в этом сообщении внизу во вложениях.

--- Сообщения объединены, 1 фев 2022, Оригинальное время сообщения: 1 фев 2022 ---

Малые азимутальные искажения, это во-первых. Во-вторых, вполне допустимые искажения длин линий. Для навигации и военных целей вполне удовлетворительно. Добавлю также, что любые картографические проекции всегда имеют те или иные искажения. Вопрос лишь в допустимости их величин и простоты учёта (простоты вычисления поправок за искажения) в случае необходимости.

Они возникают потому что при развёртывании на плоскость в проекции Гаусса-Крюгера сфера (или эллипсоид) будет представлять собой как бы "дольки апельсина". Попробуйте разрезать апельсин и выложить в ряд дольки таким образом, чтобы они касались друг друга только краями "боковых выпуклостей" кожуры. Чтобы вся кожура апельсина как бы лежала "примерно в одной плоскости". У вас получатся такие же промежутки, но при этом сама площадь поверхности кожуры при этом меньше не станет. Так же и здесь это происходит с поверхностью Земли.

 

А что, у нас на картах дирекционных углов нет? Если есть прямоугольные координаты, значит есть и дирекционный угол.

Да, именно об этом и хотел написать. Ни один объект на поверхности не пропадёт.