Решение обратной линейно-угловой засечки от двух исходных пунктов по упрощённой схеме

У меня получилось от 3.6 мм в плановом положении. Максимум 9.1 мм в зависимости от знаков вводимых СКО. Ну, в среднем где-то около 6 мм.

Здесь - минимум 7 мм или максимум 17.2 мм, опять же в зависимости от знаков вводимых СКО. В среднем около 12 мм.

Разница не так уж велика как для приближённого решения. Варианты ± поподбирать, в среднем более-менее понятно будет, каких ошибок можно ожидать.

 

Зачем тебе именно копировать Credo, если ты можешь сделать менее плохо? А именно:

Лист 1: Сам расчет элементов и координат.
Лист 2: Расчёт согласованности 2х измеренных расстояний и 1го измеренного угла.
Лист 3: Предрасчёт точности с подгоном под Credo.

 

Зря сдулся. Нормально катило. Такое вообще то называется интеллектуальными играми.

 

Оффтоп

Оффтоп

Дурака-то не валяй, задачка конечно хорошая для прочищения мозгов от мусора,
но не стоит того чтобы забрасывать текущие дела.

 

Так... полтора месяца прошло, а дело так и не сделано. Непорядок. Пожалуй, оторвусь немного от диплома и попробую предложить вариант решения.

Схема:

Исходные данные:
X_ПП1 = 100.000 м ; Y_ПП1 = 100.000 м ;
X_ПП2 = 100.000 м ; Y_ПП2 = 120.000 м ;
X_ПП3 = 100.000 м ; Y_ПП3 = 140.000 м .

Результаты измерений:
β₁ = 53°25'36" ; β₂ = 56° 23' 07" ;
S₁ = 24.886 м ; S₂ = 14.058 м; S₃ = 23.995 м.

Решение (часть 1) (раскрыть) Решение (часть 1) (свернуть)

Решение:

1) Треугольник "Станция - ПП1 - ПП2":

Вычисление углов при вершинах ПП1 и ПП2:

По т. синусов:
S_ПП1-ПП2 / sin β₁ = S₁ / sin β_ПП2 = S₂ / sin β_ПП1 ;
20.000 м / sin 53° 25' 36" = 24.886 м / sin β_ПП2 = 14.058 м / sin β_ПП1 ;

sin β_ПП2 = 24.886 м ⋅ sin 53° 25' 36" / 20.000 м = 0.999291 ;
sin β_ПП1 = 14.058 м ⋅ sin 53° 25' 36" / 20.000 м = 0.564495 .

По т. косинусов:
S₁ = √ ( S²_ПП1-ПП2 + S²₂ - 2 ⋅ S_ПП1-ПП2 ⋅ S₂ ⋅ cos β_ПП2 ) ;
S₂ = √ ( S²_ПП1-ПП2 + S²₁ - 2 ⋅ S_ПП1-ПП2 ⋅ S₁ ⋅ cos β_ПП1 ) ;

cos β_ПП2 = ( S²₁ - S²_ПП1-ПП2 - S²₂ ) / ( -2 ⋅ S_ПП1-ПП2 ⋅ S₂ ) ;
cos β_ПП1 = ( S²₂ - S²_ПП1-ПП2 - S²₁ ) / ( -2 ⋅ S_ПП1-ПП2 ⋅ S₁ ) ;

cos β_ПП2 = ( 24.886² м - 20.000² м - 14.058² м ) / (-2 ⋅ 20.000 м ⋅ 14.058 м ) = - 0.038565;
cos β_ПП1 = ( 14.058² м - 20.000² м - 24.886² м ) / (-2 ⋅ 20.000 м ⋅ 24.886 м ) = 0.825450.

Вычисление углов при вершинах ПП1 и ПП2:
β_ПП2 = arctg ( sin β_ПП2 / cos β_ПП2 ) = 92° 12' 36" ;
β_ПП1 = arctg ( sin β_ПП1 / cos β_ПП1 ) = 34° 22' 01" .

Вычисление невязки в треугольнике:
f _β = (92° 12' 36" + 34° 22' 01" + 53° 25' 36") - 180° = 13" .

Распределение невязки (поровну в каждый угол):
β₁ = 53° 25' 36" - 4" = 53° 25' 32" ;
β_ПП2 = 92° 12' 36" - 5" = 92° 12' 31" ;
β_ПП1 = 34° 22' 01" - 4" = 34° 21' 57" .

Вычисление дирекционных углов сторон S₁ и S₂:
α₁ = α_ПП2-ПП1 - 180° + 34° 21' 57" = 124° 21' 57" ;
α₂ = α_ПП1-ПП2 + 180° - 92° 12' 31" = 177° 47' 29" .

Вычисление приращений координат по направлениям от исходных пунктов до станции:
ΔX_ПП1-СТ = S₁ ⋅ cos α₁ = 24.886 м ⋅ cos 124° 21' 57" = -14.0475 м;
ΔY_ПП1-СТ = S₁ ⋅ sin α₁ = 24.886 м ⋅ sin 124° 21' 57" = 20.5421 м;

ΔX_ПП2-СТ = S₂ ⋅ cos α₂ = 14.058 м ⋅ cos 177° 47' 29" = -14.0476 м;
ΔY_ПП2-СТ = S₂ ⋅ sin α₂ = 14.058 м ⋅ sin 177° 47' 29" = 0.5418 м.

Вычисление координат станции :
По линии ПП1 - Станция:
X_СТ = X_ПП1 + ΔX_ПП1-СТ = 100.0000 м - 14.0475 м = 85.9525 м ;
Y_СТ = Y_ПП1 + ΔY_ПП1-СТ = 100.0000 м + 20.5421 м = 120.5421 м .

По линии ПП2 - Станция:
X_СТ = X_ПП2 + ΔX_ПП2-СТ = 100.0000 м - 14.0476 м = 85.9524 м ;
Y_СТ = Y_ПП2 + ΔY_ПП2-СТ = 120.0000 м + 0.5418 м = 120.5418 м .

Усреднение координат:
X_СТ = 85.9524 м ;
Y_СТ = 120.5420 м.

На этом пока прервусь. Решение из усреднения координат не окончательное, продолжу позже. Постараюсь вернуться к этому в ближайшее время.

Отмечу, что в решение треугольника было введено изменение в сравнении с первоначальным решением, представленном в этой теме на первой странице. Вместо вычисления и распределения координатных невязок было выполнено усреднение приращений координат по линиям от двух исходных пунктов до станции. Изменение обусловлено допущением того, что измерения линий равноточны, а исправленные углы не содержат значительных ошибок.

Также отмечу, что малые расхождения в координатах станции из двух линий обусловлены тем, что в решение были введены слишком малые ошибки. В линию S1 была введена ошибка +0.6 мм, в линию S2 ошибка +1.2 мм, в угол β₁ ошибка +3.7". При дальнейшем решении введу большие по величине ошибки в сторону S3 и угол β₂.

 

Сразу видно, что вполне достаточно для упрощённого метода использовать поправку в этот угол, как его оценку.

 

Забегая вперёд скажу, что далее решение будет представлять из себя аналогичное решение второго треугольника "Станция - ПП2 - ПП3" и третьего треугольника "Станция - ПП1 - ПП3". Далее координаты из всех трёх треугольников просто усредняются. Решая все треугольники можно проследить взаимную сходимость исходных пунктов ПП1, ПП2, ПП3 и в случае необходимости исключить один из этих пунктов из решения.

Да, оценку точности лучше смотреть по поправкам и сходимости координат станции из различных решений. Это будет много лучше, чем из пальца высосанная оценка в первом сообщении темы. Та оценка, как выяснилось, совершенно неадекватна.

 

Надо бы уже заканчивать. Расписать решение двух оставшихся треугольников "Станция - ПП2 - ПП3" и "Станция - ПП1 - ПП3".

Решение (часть 2) (раскрыть) Решение (часть 2) (свернуть)

2) Треугольник "Станция - ПП2 - ПП3":

Вычисление углов при вершинах ПП2 и ПП3:

По т. синусов:
S_ПП2-ПП3 / sin β₂ = S₂ / sin β_ПП3 = S₃ / sin β_ПП2 ;
20.000 м / sin 56° 23' 07" = 14.058 м / sin β_ПП3 = 23.995 м / sin β_ПП2 ;

sin β_ПП3 = 14.058 м ⋅ sin 56° 23' 07" / 20.000 м = 0.585360 ;
sin β_ПП2 = 23.995 м ⋅ sin 56° 23' 07" / 20.000 м = 0.999127 .

По т. косинусов:
S₂ = √ ( S²_ПП2-ПП3 + S²₃ - 2 ⋅ S_ПП2-ПП3 ⋅ S₃ ⋅ cos β_ПП3 ) ;
S₃ = √ ( S²_ПП2-ПП3 + S²₂ - 2 ⋅ S_ПП2-ПП3 ⋅ S₂ ⋅ cos β_ПП2 ) ;

cos β_ПП3 = ( S²₂ - S²_ПП2-ПП3 - S²₃ ) / ( -2 ⋅ S_ПП2-ПП3 ⋅ S₃ ) ;
cos β_ПП2 = ( S²₃ - S²_ПП2-ПП3 - S²₂ ) / ( -2 ⋅ S_ПП2-ПП3 ⋅ S₂ ) ;

cos β_ПП3 = ( 14.058² м - 20.000² м - 23.995² м ) / (-2 ⋅ 20.000 м ⋅ 23.995 м ) = 0.810724;
cos β_ПП2 = ( 23.995² м - 20.000² м - 14.058² м ) / (-2 ⋅ 20.000 м ⋅ 14.058 м ) = 0.038888.

Вычисление углов при вершинах ПП1 и ПП2:
β_ПП3 = arctg ( sin β_ПП3 / cos β_ПП3 ) = 35° 49' 48" ;
β_ПП2 = arctg ( sin β_ПП2 / cos β_ПП2 ) = 87° 46' 16" .

Вычисление невязки в треугольнике:
f _β = (35° 49' 48" + 87° 46' 16" + 56° 23' 07") - 180° = -49" .

Распределение невязки (поровну в каждый угол):
β₂ = 56° 23' 07" + 16" = 56° 23' 23" ;
β_ПП2 = 87° 46' 16" + 17" = 87° 46' 33" ;
β_ПП3 = 35° 49' 48" + 16" = 35° 50' 04" .

Вычисление дирекционных углов сторон S₂ и S₃:
α₂ = α_ПП3-ПП2 - 180° + 87° 46' 33" = 177° 46' 33" ;
α₃ = α_ПП2-ПП3 + 180° - 35° 50' 04" = 234° 09' 56" .

Вычисление приращений координат по направлениям от исходных пунктов до станции:
ΔX_ПП2-СТ = S₂ ⋅ cos α₂ = 14.058 м ⋅ cos 177° 46' 33" = -14.0474 м;
ΔY_ПП2-СТ = S₂ ⋅ sin α₂ = 14.058 м ⋅ sin 177° 46' 33" = 0.5456 м;

ΔX_ПП3-СТ = S₂ ⋅ cos α₂ = 14.058 м ⋅ cos 234° 09' 56" = -14.0478 м;
ΔY_ПП3-СТ = S₂ ⋅ sin α₂ = 14.058 м ⋅ sin 234° 09' 56" = -19.4530 м.

Вычисление координат станции :
По линии ПП2 - Станция:
X_СТ = X_ПП2 + ΔX_ПП2-СТ = 100.0000 м - 14.0474 м = 85.9526 м ;
Y_СТ = Y_ПП2 + ΔY_ПП2-СТ = 120.0000 м + 0.5456 м = 120.5456 м .

По линии ПП3 - Станция:
X_СТ = X_ПП3 + ΔX_ПП3-СТ = 100.0000 м - 14.0478 м = 85.9522 м ;
Y_СТ = Y_ПП3 + ΔY_ПП3-СТ = 140.0000 м + 0.5418 м = 120.5418 м .

Усреднение координат:
X_СТ = 85.9524 м ;
Y_СТ = 120.5437 м.

Последний треугольник остался.

 

Решение (часть 3) (раскрыть) Решение (часть 3) (свернуть)

3) Треугольник "Станция - ПП1 - ПП3":

Вычисление углов при вершинах ПП1 и ПП3:

По т. синусов:
S_ПП1-ПП3 / sin (β₁ + β₂ ) = S₁ / sin β_ПП3 = S₃ / sin β_ПП1 ;
40.000 м / sin 109° 48' 43" = 24.886 м / sin β_ПП3 = 23.995 м / sin β_ПП1 ;

sin β_ПП3 = 24.886 м ⋅ sin 109° 48' 43" / 40.000 м = 0.585325 ;
sin β_ПП1 = 23.995 м ⋅ sin 109° 48' 43" / 40.000 м = 0.564368 .

По т. косинусов:
S₁ = √ ( S²_ПП1-ПП3 + S²₃ - 2 ⋅ S_ПП1-ПП3 ⋅ S₃ ⋅ cos β_ПП3 ) ;
S₃ = √ ( S²_ПП1-ПП3 + S²₁ - 2 ⋅ S_ПП1-ПП3 ⋅ S₁ ⋅ cos β_ПП1 ) ;

cos β_ПП3 = ( S²₁ - S²_ПП1-ПП3 - S²₃ ) / ( -2 ⋅ S_ПП1-ПП3 ⋅ S₃ ) ;
cos β_ПП1 = ( S²₃ - S²_ПП1-ПП3 - S²₁ ) / ( -2 ⋅ S_ПП2-ПП3 ⋅ S₁ ) ;

cos β_ПП3 = ( 24.886² м - 40.000² м - 23.995² м ) / (-2 ⋅ 40.000 м ⋅ 23.995 м ) = 0.810818;
cos β_ПП1 = ( 23.995² м - 40.000² м - 24.886² м ) / (-2 ⋅ 40.000 м ⋅ 24.886 м ) = 0.825541.

Вычисление углов при вершинах ПП1 и ПП2:
β_ПП3 = arctg ( sin β_ПП3 / cos β_ПП3 ) = 35° 49' 31" ;
β_ПП1 = arctg ( sin β_ПП1 / cos β_ПП1 ) = 34° 21' 28" .

Вычисление невязки в треугольнике:
f _β = (35° 49' 31" + 109° 48' 43" + 34° 21' 28") - 180° = -18" .

Распределение невязки (поровну в каждый угол):
β_ПП3 = 35° 49' 31" + 6" = 35° 49' 37" ;
(β₁ + β₂ ) = 109° 48' 43" + 6" = 109° 48' 49" ;
β_ПП1 = 34° 21' 28" + 6" = 34° 21' 34" .

Вычисление дирекционных углов сторон S₂ и S₃:
α₁ = α_ПП3-ПП1 - 180° + 34° 21' 34" = 124° 21' 34" ;
α₃ = α_ПП1-ПП3 + 180° - 35° 49' 31" = 234° 10' 29" .

Вычисление приращений координат по направлениям от исходных пунктов до станции:
ΔX_ПП1-СТ = S₁ ⋅ cos α₁ = 24.886 м ⋅ cos 124° 21' 34" = -14.0452 м;
ΔY_ПП1-СТ = S₁ ⋅ sin α₁ = 24.886 м ⋅ sin 124° 21' 34" = 20.5437 м;

ΔX_ПП3-СТ = S₃ ⋅ cos α₃ = 14.058 м ⋅ cos 234° 10' 29" = -14.0446 м;
ΔY_ПП3-СТ = S₃ ⋅ sin α₃ = 14.058 м ⋅ sin 234° 10' 29" = -19.4553 м.

Вычисление координат станции :
По линии ПП1 - Станция:
X_СТ = X_ПП1 + ΔX_ПП1-СТ = 100.0000 м - 14.0452 м = 85.9548 м ;
Y_СТ = Y_ПП1 + ΔY_ПП1-СТ = 100.0000 м + 20.5437 м = 120.5437 м .

По линии ПП3 - Станция:
X_СТ = X_ПП3 + ΔX_ПП3-СТ = 100.0000 м - 14.0446 м = 85.9522 м ;
Y_СТ = Y_ПП3 + ΔY_ПП3-СТ = 140.0000 м - 19.4553 м = 120.5447 м .

Усреднение координат:
X_СТ = 85.9535 м ;
Y_СТ = 120.5442 м.

Сводка решений из трёх треугольников (раскрыть) Сводка решений из трёх треугольников (свернуть)

Треугольник "Станция - ПП1 - ПП2":
X_СТ = 85.9524 м ;
Y_СТ = 120.5420 м.

Треугольник "Станция - ПП2 - ПП3":
X_СТ = 85.9524 м ;
Y_СТ = 120.5437 м.

Треугольник "Станция - ПП1 - ПП3":
X_СТ = 85.9535 м ;
Y_СТ = 120.5442 м.

Окончательные координаты Станции (усреднение координат):
X_СТ = 85.9527 м ;
Y_СТ = 120.5433 м.

Оффтоп

Так вот, в поиске. Жду ответа от потенциального работодателя. А пока жду, почему бы не закончить давно начатое решение.

А может быть у вас есть какие-то предложения?

--- Сообщения объединены, 18 июл 2021, Оригинальное время сообщения: 18 июл 2021 ---

Забыл ввести эти ошибки... Ну и ладно.