Определение параметров преобразования прямоугольных СК методом кватернионов

Добрый день, в процессе расширения кругозора наткнулся на интересный итеративный процесс вычисления параметров трансформации в пространстве между разными прямоугольными системами координат минимум по трем точкам, основанным на алгебре кватернионов. Честно признаюсь, от самой алгебры кватернионов я пока далек, но представленные в статье (см. вложение, со стр. 17) методики показались мне вменяемыми и я решил хотя бы для эксперимента реализовать их в виде итеративного процесса (в MathCAD).
Однако я немного запутался с логикой материала (стр. 22), когда в расчет вводятся все 3 координаты, и будут меняться формулы расчета (29-44), которые явным образом завязаны на 2х переменных или там имеется в виду параллельное решение 3х уранвений для двух пар векторов?
P.S. Приложил документ MathCAD в архиве... ну и конечно не могу смириться с мнимыми числами в результатах
___
Собственно говоря, практическая необходимость в поиске метода решения по минимальному числу точек заключается в следующей задаче: есть большое число разных моделей ПО для проектирования, которое выгружает свою геометрию в сторонние обменные файлы. Один из них, общуполпулярный, IFC позволяет задавать ориентацию систему координат модели (базовую декартову, от которой идет разбивка геометрии модели) с помощью параметров смещения и трех эйлеровых (?) углов поворота каждой оси в отдельности. Есть возможность посмотреть на координаты точек здания/модели в исходной программе и есть значения координат данной модели в целевой системе (например, конечном генплане или в другой моделе, куда данная должна быть вставлена. То есть речь идет о необходимости по минимальному набору точек (координат X,Y,Z в старой и конечной СК) построить универсальное решение нахождения 3х параметров смещения (dX, dY, dZ) и 3х углов поворота. Масштабный коэффициент по понятным причинам не нужен (рассматриваемая "зона контакта" в пределах квадратного километра).
Для случая решения, если базовые оси Z в начальной и конечной программе совпадают решение то несложное - изложено здесь (там же и сама сборочка .. корявенькая )

 

7 параметров можно вычислить с помощью
http://helmparms3d.sourceforge.net
только учтите что углы поворота там в радианах а не в угловых секундах.
6 параметров - линейная система уравнений, ее решит любой LSQ-solver.

 

"Поправку на ветер" не сделал: https://github.com/dr-ni/helmert3d/releases , https://github.com/Geo-Linux-Calculations/helmparms3d/releases

 

Хмм. А вот это всё не должно находиться в https://geodesist.ru/forums/programmy-dlja-perescheta-koordinat-i-poiska-kljuchej.97/ ?

Не, смотрите сами, но по мне так надо бы перенести.

Cast @В.Шуфотинский

 

Тут же вопрос скорее познавательно-математический, а не геодезический (нет привязки к фигуре земли...геодезическим координатам и т.д), рассматривается общее представление идеи трансформации одной 3D декартовой СК относительно другой. Метод Гельмерта, ну, как-то .. не сюда что ли, по моему мнению - слишком общий подход .. есть ли что-то более узкое?

 

Так и я за то. Зайди в указанный раздел https://geodesist.ru/threads/oprede...yx-sk-metodom-kvaternionov.86002/#post-978424 и увидишь узкоспецифическое.

 

Была такая страница с работающим в браузере кватернионным преобразователем-вычислителем
7 параметров (javascript) и китайским примером.
Сейчас она доступна только через archive.org
https://web.archive.org/web/20160312214607/http://diegeodaeten.de/quaternionentransformation.html
но все работающие компоненты оттуда можно выковырять ( quaternionentransformation.js ).

Там же и список литературы:

Horn, B.K.P. (1987), Closed-form solution of absolute orientation using unit quaternions, Journal of the Optical Society of America
Nitschke, M., Knickmeyer, E.H. (2000), Rotation Parameters - A survey of Techniques, Journal of Surveying Engineering
Sanso, F. (1973), An exact solution of the roto-translation problem, Photogrammetria 29
Shen Y.-Z., Chen Y., Zheng D.-H. (2006), A quaternion-based geodetic datum transformation algorithm, Journal of Geodesy

 

А позовите уважаемого @ВЯЗ сюда. Он давно давно мне рассказывал о попытках описания деформаций с помощью этого аппарата. Признаться, не понял я ничерта.
Но запомнил, звучало фантастически компактно и свежо для геодезии.

 

Я кстати сделал решение, плюнул на эти сложности (решение нужно вот-вот было), потом как-нибудь нормально сяду разберусь с теорией (очень уж интересно поковырять кватернионы дальше)
Реализовал по частному принципу (по сути, как исключение в "мире САПР" - для оси Z вверх и правосторонней СК), тогда общее уравнение преобразование вырождается в частное f(N) = f(dX, dY, dZ,ω_z )
Из разностей координат по методу наим. квадратов формирую матрицу поворота, потом нахожу параметры сдвижки и уже пихаю в IFC

 

Оффтоп

Поиск... (https://geodesist.ru/search) кватернион

Ничего не найдено.

Почините уже этот "Поиск" или уберите вообще!

 

Кватернионы для нахождения параметров преобразования Бурша-Вольфа не подходят. Они немного о другом. Начну издалека.

0. Преобразование Гельмерта

На картинке формула классического преобразования 7 параметров.
Обратим внимание на матрицу вращения R.

--- Сообщения объединены, 25 ноя 2020, Оригинальное время сообщения: 25 ноя 2020 ---

1. Модель 1. Малые вращения

Чтобы ловчее представить элементы матрицы R, примем модель с углами Эйлера, в которой последовательно осуществляем вращение на углы ω_x, ω_y, ω_z вогруг соответствующих осей.

Вид полученной матрицы зависит от выбранной последовательности вращений (всего шесть вариантов по числу возможных комбинаций). Учитывая малость углов, разложим синусы и косинусы в ряды по степеням. Заметим, что все варианты выглядят одинаково, если пренебречь членами разложений, начиная со второго.

Оставив только первые члены разложений, получим «матрицу вращения» для формулы Бурша-Вольфа. Это матрица вращения только в кавычках, ибо она неортогональна, а её детерминант не равен единице. Также транспонированная матрица и обратная не равны друг другу.

При условии малости углов вращения формулы обычно устраивают геодезистов.

--- Сообщения объединены, 25 ноя 2020 ---

2. Модель 2. Большие вращения

Они же малые, когда нам нужна высокая точность. Вследствие того, что для «матрицы вращения» транспонированная и обратная матрицы не совпадают, принятое в геодезии упрощенное преобразование 7 параметров туда и обратно не сохраняет исходные координаты. Нужна другая модель.

Вернёмся к строгому уравнению Гельмерта. Рассмотрим вращение вокруг оси, ориентация которой определяется направляющими косинусами c_i. Угол вращения равен ω.

--- Сообщения объединены, 25 ноя 2020 ---

3. Мат. методы

Два способа считать вращение в модели 2:

• формула вращения Родригеса
• формула Эйлера-Родригеса

Вторая формула связана с кватернионами.