В чём физический смысл двойной разности?

Тема. Неделю назад с удивлением открыл кажущуюся очевидной большинству авторов литературы вещь - одинарная разнность это вектор между спутниками или между приёмниками и их нахождение из уравнений даёт изменение координат между ними. И мне для этого потребовалось прочитать очень много кого. Я попытался изобразить двойные разности в векторном виде на бумажке, получается что-то как бы разность базовых линий между спутниками и между приёмниками. Для чего нужен такой вектор мне не совсем понятно. Объясните, буду благодарен.

 

Как то так.

2) Двойные разности.
Представляют собой комбинацию двух однократных разностей.

Рисунок: Двойная разность
Двойные разности свободны от влияния ошибок часов спутников и приёмников, их аппаратурные задержки. Влияние ионосферы и тропосферы ослабевает на коротких базовых линиях. Исключаются эфемеридные ошибки. Шум измерений растёт.

Ну или вот это имеется ввиду.
http://www.findpatent.ru/patent/256/2565386.html

Выдержка (раскрыть) Выдержка (свернуть)

Известным методом определения позиции ровера с использованием сигналов трех разных несущих частот является метод "глобальная кинематика в реальном времени", или "WARTK", как описано в патенте США 2006/0164297 A1. Согласно методу WARTK ровер должен находиться в контакте с сетью фиксированных опорных станций, также принимающих передаваемые спутником сигналы. При этом нахождение в контакте с сетью опорных станций подразумевается таким, что ровер принимает данные, имеющие отношение к радиосигналам, принятым в одной или более опорных станциях сети от сети через наземное или космическое средство связи. И ровер, и опорные станции получают наблюдения псевдодальности и наблюдения фазы несущей из переданных спутником сигналов, и сеть обеспечивает роверу наблюдения псевдодальности и наблюдения фазы несущей, полученные в одной или более опорных станциях, через наземное или космическое средство связи. В ровере берутся двойные разности между парами спутник-приемник наблюдений. Например, если O₁ ¹ - наблюдение, имеющее отношение к сигналу первого спутника, полученному в ровере, O₁ ² - наблюдение, имеющее отношение к сигналу от второго спутника, принятому в ровере, O₂ ¹ - наблюдение, имеющее отношение к сигналу от первого спутника, полученному в опорной станции, и O₂ ² - наблюдение, имеющее отношение к сигналу от второго спутника, полученному в опорной станции, такая двойная разность была бы задана как (O₁ ¹-O₁ ²)-(O₂ ¹-O₂ ²). Более подробное описание двойных разностей дано в статье У.Воллата и др., названной "Анализ способа разрешения неопределенности трех несущих частот (TACR) для точного относительного позиционирования в глобальной навигационной спутниковой системе GNSS-2", опубликованной в "Proceedings of the ION GPS" 1998, IX-O-13, стр. 1-6. Посредством взятия этих двойных разностей ликвидируется много ошибок наблюдения и инструментальных ошибок. Однако максимальное расстояние между ровером и опорными станциями ограничено, поскольку сигналы, принятые ровером, и сигналы, принятые опорными станциями, по-разному подвергаются задержкам, происходящим из-за прохождения этих сигналов через ионосферу. Таким образом, с увеличением расстояния между ровером и опорными станциями наблюдения, полученные в ровере и в опорных станциях, декоррелируются ионосферными задержками. Эта проблема учитывается ионосферной моделью в реальном времени, которая вычисляется на основе сети опорных станций и предоставляется роверу через наземное или космическое средство связи. Эта модель определяется из анализа фазы двойной несущей частоты и наблюдений кода, полученных в опорных станциях сети. Посредством этой ионосферной модели эффект декорреляции наблюдений, полученных в ровере и в опорных станциях, может быть определен и принят во внимание при определении позиции ровера. Тем самым воздействие описанной выше декорреляции может быть смягчено.

 

То есть если я правильно понял: базовые линии между приёмниками по двум разным спутникам должны быть равны. Поскольку двойная разность убирает общие смещения - часов, аппаратуры и т.д., то по полученным ненулевым разностям базовых линий можно исследовать неисключённые факторы. Так?

 

Получается да.

 

Я пока не распутал эту фразу, но вообще вЕктора после первой разности (один спутник два приёмника) нет и быть не может, это гиперболоид вращения, или гипербола в 2D-пространстве на приведенной выше картинке; сомневаюсь что есть геометрическое отображение линии положения (LOP) для двойной разности. А, вероятнее всего, я вас не понял и вы о чем-то другом.

--- Сообщения объединены, 18 фев 2016, Оригинальное время сообщения: 18 фев 2016 ---

Вопрос действительно интересный... помучился полчаса, что-то мне подсказывает что двойные разности представимы только алгебраически. Про тройные вообще молчу ))

--- Сообщения объединены, 18 фев 2016 ---

...или вторые это гиперболоид ? уфф, взрыв мозга. За всё время ни разу не встречал книжки или простого объяснения, только матан. "Будем искать" (c) (с перламутровыми)

 

Тройные разности.
Получаются из двойных применением разности эпоха-эпоха.

Рисунок: Тройная разность.
В целом, в тройных разностях исключаются всё те же ошибки, что и в двойных. При этом они свободны ещё и от целочисленных фазовых неоднозначностей, но самые шумные.

chnav, мне тоже думается, что это геометрическое представление расчётов.
Вектора действительно получается что нет и фактически это разница между псевдодальностями до приёмников, а не между ними.
Но она и должна быть одинаковой для каждого спутника.

 

Да, я как-то забыл, что разностный вектор это в координатах, а одинарные, двойные и т.д. разности это просто алгебраические разности. Так что моя формулировка мягко говоря некорректна. Просто от меня всё ускользает в чём смысл решения в разностях? Ну исключили мы часть неизвестных, нашли, там, уравненные разности. Дальше-то что? Мы же искали не разности, а координаты или поправки в измерения или определяемые величины. Можно так вопрос переформулировать: составили систему из разностей, решили, что дальше? Что важного для исходной задачи (найти координаты пункта, найти вектор базовой линии) мы получаем? В общем ощущение, что что-то очевидное от меня категорически ускользает.

 

Корректен ли мой вопрос?

 

Ephemeris
GPS-математика, независимо от используемого метода, сводится к уравниванию. В учебниках это сразу преподносится как векторная алгебра и матан с матрицами (без предварительного вступления), на самом деле это упрощенное представление систем уравнений.
На картинках выше все дальности есть геометрическое расстояние от спутника, т.е. каждую дальность разворачиваем в "корень квадратный от суммы квадратов..." и т.д. В простейшем случае при автономном GPS-позиционировании у нас 4 неизвестных и 4+ измерения. Дальше линеаризация (первые производные от каждого неизвестного x,y,x,dt), уравнивание МНК или фильтр Калмана.
Соответственно для вторых разностей тоже можно написать развёрнутые уравнения а дальше по схожей схеме. Сложность в том что у нас добавляются фазовые неоднозначности, их находят перебором.

 

Уже какой год переносится публикация библиотеки, описанной в книге
Guochang Xu GPS: Theory, Algorithms and Applications

 

Ссылка почему-то никуда не ведёт, даже после регистрации и входа, но книжка эта у меня есть. Вы про 10 главу? Да, мне тоже было интересно, к чему оно, и где всё, что там описано. Я по этой книжке вообще и смотрел собственно математику, но как раз разности (и почти всё, на мой взгляд) там описаны по принципу берёшь и делаешь, зачем и почему он как-то не вдаётся.

--- Сообщения объединены, 24 фев 2016, Оригинальное время сообщения: 24 фев 2016 ---

Насколько я понимаю теорию уравнивания, это выглядит как-то так, поправьте, если я ошибаюсь:
При уравнивании мы находим или поправки в измеренные величины (условный/коррелатный способ) или в определяемые величины (параметрический). Триангуляцию можно уравнивать в углах с учётом корреляции как разницу направлений, то есть в одинарных разностях, по сути. Можем уравнять коррелатным способом и получить поправки в измеренные углы - измеренные разницы. Дальше из решения треугольников находим координаты пунктов. Можем уравнивать параметрическим способом, тогда через треугольники устанавливаем связь между измерениями и координатами пунктов. Через исходные уравнения связи, собственно. В этом примере треугольники - это связь между тем, что у нас есть (разности) и тем, что мы хотим получить. Этой самой связи для разностного спутникового позиционирования я не вижу, похоже, в упор. Везде описывается модели параметров отдельно и способы уравнивания отдельно. Ну составил я систему для двойных разностей, получил прекрасные уравненные двойные разности, ближе к интересующим меня координатам я как стал? Или не к координатам? Что для такого решенияв разностях вообще является определяемыми величинами?

 

Обычно определяется вектор база->ровер [dX,dY,dZ], который является промежуточным результатом для уравнивания в координатах. Эдакая многоходовка:
На первом этапе измеренными величинами являются фаза несущей, фаза кода, доплер, всё это для нескольких частот и нескольких спутников, для двух приёмников. Определяемой величиной является вектор.
На втором этапе вектора уже считаются "измеренными величинами", их количество зависит от того сколько сессий на скольких пунктах вы отстояли. Определяемыми величинами являются координаты. Этот этап в общем классическая геодезия, тут можно мыслить треугольниками.
Видимо сложность в первом этапе, я правильно понял ? В чем конкретно - в составлении уравнений или их решении ? Геометрически это осмысливать бесполезно, надо с формулами.

 

Про "ровер" это я поторопился, частный случай, лучше сказать вектор между фазовыми центрами двух антенн. Антенны подвижны или статичны - в данном случае неважно.

 

Ссылка ведет. Но вот, поделился, бы уважаемый stout читательским билетом. Блин, да и рюмкой коньяка и сигарой. Я бы в таком диванчике почитал.

--- Сообщения объединены, 25 фев 2016, Оригинальное время сообщения: 25 фев 2016 ---

Согласен.