Итерационный алгоритм конформного преобразования?

Есть ли итерационный алгоритм конформного преобразования? Абсолютная сходимость с классическим способом не требуется. Просто возиться с нормальными уравнениями на каждой степени - конкретный напряг. Может кто то где то что то похожее видел?

PS: Подразумевается что то типа приближение рядом Тейлора.

 

@zvezdochiot, классический способ и есть приближение рядом Тейлора. Вот базовое представление условного уравнения для k неизвестных:

--- Сообщения объединены, Oct 2, 2020, Оригинальное время сообщения: Oct 2, 2020 ---

Справа отброшены члены разложений второго и более высоких порядков, поэтому получаются линейные уравнения. Мы ищем (и называем неизвестными величинами) приращения аргументов (x_j - x_0j).

К счастью, частные производные в большинстве задач можно получить аналитически. Иначе приходится искать их численно из вариаций аргументов.

Поскольку мы пренебрегаем нелинейными членами, классический метод по сути своей итерационный: найденное решение x используется как x₀ в следующей итерации. К счастью, в большинстве геодезических задач те члены дают пренебрежимо малый вклад, и первой итерации бывает достаточно.

А возиться с нормальными уравнениями не надо. Раз уж не хочется пользоваться готовыми библиотеками, напишите собственную процедуру МНК для произвольного числа уравнений и неизвестных. На основе матричной алгебры это совсем не сложно. Написав один раз, можешь потом использовать всегда как чёрный ящик, не думая о начинке.

 

Что за матричный способ? Это метод Гаусса?

 

Пусть имеется система линейных уравнений:

A x = y

Здесь A — прямоугольная матрица коэффициентов размера k × n; y — вектор измерений; x — вектор неизвестных величин; k — число неизвестных; n — число уравнений, n > k.

Дополним систему квадратной симметрической матрицей ковариаций измерений V(ε). При некоррелированных измерениях V(ε) диагональная, называется весовой матрицей W и содержит на диагонали значения 1/σ_j².

Cистема нормальных уравнений имеет вид:

A^T W A x = A^T W y

Обратим матрицу (A^T W A):

Q = (A^T W A)⁻¹

Найдём вектор неизвестных:

x = Q A^T W y

Получим вектор невязок:

e = A x − y

Вычислим сумму квадратов невязок:

RSS = e^T W e

Вычислим дисперсию:

s² = RSS / (n − k)

Получим матрицу ковариаций неизвестных:

V(x) = s² Q

Диагональные элементы V(x) — оценки погрешности неизвестных s_x².

 

Как ты представляешь себе в таком виде получение элементов этих уравнений? Особенно в контексте конформного преобразования. Уже вторая степень показала, что никакой "универсальностью" здесь даже и не пахнет.

 

Сколько раз решал задачи конформного преобразования, и вдруг оказывается, что это невозможно

 

Что именно оказывается? Я потерял нить.

Хотя, может ты и прав. В матричном виде всё выглядит достаточно просто. Мож меня куда то унесло?

 

ErnieBoyd, поделись алгоритмом обращения плохообусловленной матрицы

 

Извиняюсь за вмешательство. Но. Не обязательно нужен SVD, чтобы обращать плохообусловленную матрицу. Можно недопускать составление плохообусловленной матрицы. Один из методов: Гауссова нормализация переменных подстановкой вида:

t = (x - M(x)) / sqrt(2 * D(x) / n)

После такой подстановки очень сложно получить плохообусловленную матрицу (нормализация проводится до составления нормальных уравнений). Только вот само решение уже не будет таким простым.

y(x) = A * x
y(t) = B * t

Прийдётся выражать A из B повторной подстановкой.

y(x) = B * (x - M(x)) / sqrt(2 * D(x) / n) = A * x

 

Вот действительно жизнь - кривая дорожка. Попытался "упростить" и сам себя запутал. В то время как старый добрый "дедовский" способ работает как часы. Можно даже использовать такие "вкусности", как LL-разложение. В силу изложенного, признаю абсурдность данной "темы". Вот же умудрился сам себя так запутать. Осталось только как то автоматизировать повторную подстановку (https://geodesist.ru/threads/iteracionnyj-algoritm-konformnogo-preobrazovanija.85528/#post-972330) и "шах и мат".

 

Конформное преобразование есть частный случай аффинного. Аффинное преобразование линейное. Не нужна линеаризация уравнений в виде разложений в ряды с отбрасыванием «лишних» членов, оно линейное по определению.

Одна из форм записи двумерного аффинного преобразования:
A x₁ + B x₂ + C = y₁
D x₁ + E x₂ + F = y₂
Каждая пара координат в исходной системе (x₁, x₂) и в целевой системе (y₁, y₂) даёт два уравнения. Очевидно, получаются две системы системы уравнений, которые решаются независимо друг от друга. Решение первой даст вектор неизвестных (A, B, C), второй — (D, E, F).

Прелесть линейного преобразования в том, что если перенести начала координат в исходной и в целевой системах в центры масс:
ξ_ij = x_ij − x_i0 , где x_i0 = ∑ x_ij w_j / ∑ w_j
η_ij = y_ij − y_i0 , где y_i0 = ∑ y_ij w_j / ∑ w_j
то коэффициенты C, F выпадают из рассмотрения. Остаются неизвестные A, B, D, E. После их нахождения C, F вычисляются простой подстановкой.
Перенос координат не только уменьшает порядок обращаемой матрицы, но и исключает ошибки округления, когда расстояния между пунктами много меньше значений координат.

N. B. Поскольку преобразование линейное, задача всегда решается одной итерацией!

Конформное преобразование накладывает ограничения. Каждая пара координат даёт два уравнения в одну систему:
A x₁ + B x₂ + C = y₁
−B x₁ + A x₂ + F = y₂
При этом благодаря особенностям получаемой матрицы нормальных уравнений порядок решаемой системы можно уменьшить вдвое.

С готовыми A, B получаем альтернативное представление — масштаб s и разворот θ:
s² = A² + B²
tg θ = B / A

 

Да разобрался уже: https://geodesist.ru/threads/iteracionnyj-algoritm-konformnogo-preobrazovanija.85528/#post-972366 .

Форма https://geodesist.ru/threads/iteracionnyj-algoritm-konformnogo-preobrazovanija.85528/#post-972558 кстати не так хороша как матричная: https://geodesist.ru/threads/iteracionnyj-algoritm-konformnogo-preobrazovanija.85528/#post-972309 . Матричная просто гениальна своей простотой. Каким чортом меня от неё унесло, самому не понятно.

PS: Чтобы не было непоняток: Под итерацией я подразумевал рост степени преобразования (1-я - линейная, 2-я - квадратическая, 3-я - кубическая,...)

 

Для 1ой степени (линейное преобразование) - да (матрица нормальных уравнений фактически "единичная"), но для больших степеней преобразования нужен не просто перенос, а нормализация вида: https://geodesist.ru/threads/iteracionnyj-algoritm-konformnogo-preobrazovanija.85528/#post-972330 . Без неё число обусловленности матрицы нормальных уравнений значительная. А чтобы не путаться, гауссову нормализацию стоит производить всегда.