Задачки

Определить знаменатель относительной погрешности определения периметра полигона, состоящего из 5 сторон примерно одинаковой длины, если относительная ошибка измерения лентой всех сторон одинаковая и равна 1/3000.

Найти среднюю квадратическую погрешность определения поправки за наклон при измерении линии лентой. Значение линии получено с погрешностью 0.1 м и отношение поправки к наклонной линии 0.01.

 

Что-то я не пойму, в чём состоит вопрос в данной задаче. Например, все 5 сторон в полигоне примерно одинаковой длины 150.000 м. Смерили стороны полигона с одинаковой ошибкой 1/3000. То есть расхождения из прямого и обратного линейного измерения по каждой стороне были примерно равны как 1/3000 ⋅ 150.000 м = 0.050 м. Суммируем эти расхождения по всем сторонам: 0.050 м ⋅ 5 = 0.250 м. И делим длину всего полигона на сумму расхождений: (150.000 м ⋅ 5)/0.250 м. И получаем тот же самый знаменатель относительной погрешности 3000.

Вообще не понимаю сути вопроса. Если все линии в полигоне измерены с ошибкой 1/3000, то и периметр всего полигона измерен с той же ошибкой. Так ли? Или я где-то ошибаюсь?

Условные знаки для топографических планов обозначения :
ΔD - поправка в линию за наклон
D - наклонное расстояние (оно же "наклонная линия" по терминологии условия задачи)
S - горизонтальное проложение (оно же "линия")
m_X - средняя квадратическая погрешность величины X
v - угол наклона линии

Исходные данные:
m_s = 100.0 мм (I)
ΔD/D = 0.01 (II)

Решение:
S = D ⋅ cos(v) (1)
D = S + ΔD = D ⋅ cos(v) + D ⋅ 0.01 (2)

Делим (2) на D, получаем (3)
1 = cos(v) + 0.01 (3)
cos(v) = 0.99 (4)

Из (1) и (4) получаем (5)
D = S / 0.99 (5)

Переходим на средние квадратические погрешности
m_D = m_s/0.99 = 101.01 мм (6)
Из (6) и исходного соотношения (II)
m_ΔD = m_D ⋅ 0.01 = 1.01 мм (ответ)

Примечание: значения округлены до сотых долей мм.

Старшие коллеги, проверьте на ошибки, пожалуйста, если вас не затруднит.

 

Оффтоп

Та-ак... понятно, спасибо. Тему мне изучить надо бы. А то каша в голове, видать, конкретная по этим вопросам.

 

Оффтоп

первая задача в корень из пяти раз результат будет хуже

 

Итак, Новый год уже пару дней как случился. Наверное, время пришло, и пора потихоньку пробовать включать мозги Значится, попытка №2 решения задач, обсуждаемых в данной теме.

Задача №1 (раскрыть) Задача №1 (свернуть)

Задача № 1. Условие: Определить знаменатель относительной погрешности определения периметра полигона, состоящего из 5 сторон примерно одинаковой длины, если относительная ошибка измерения лентой всех сторон одинаковая и равна 1/3000.

Выдержка из учебника В.И. Родионова «Геодезия. Среднетехническое образование» М.: Недра, 1987:
" ... Точность измерения длин линий, площадей характеризуется не только абсолютным значением средней квадратической погрешности, но и ее отношением к результату измерения. Такая погрешность называется относительной. Например, если длина участка трассы, составляющая 263,76 м, измерена со средней квадратической погрешностью 0,08 м, ее относительная средняя квадратическая погрешность составит 0,08/263,76 = 1/3297 ... "

Условные обозначения:
L - длина стороны полигона
m_S - средняя квадратическая погрешность измерения стороны полигона
m_P - средняя квадратическая погрешность измерения периметра полигона
T - знаменатель относительной погрешности определения периметра полигона

Решение:
m_S/L = 1/3000 (1) (относительная ошибка измерения стороны полигона по условию задачи)
m_P/(L ⋅ 5) = 1/T (2) (относительная погрешность определения периметра полигона)

m_P = √(5 ⋅ m_S²) = m_S ⋅ √5 (3) (из предположения о том, что все стороны измерены с равными СКП)

Из (2) и (3) получаем (4)
(m_S ⋅ √5)/(L ⋅ 5) = 1/T
m_S/(L ⋅ √5) = 1/T (4)

Делим соответственно правую и левую части выражения (4) на правую и левую части выражения (1) и получаем (5)
1/√5 = 3000/T (5)
T = 3000 ⋅ √5 = 6708 - ответ (???)

Задача №2 (раскрыть) Задача №2 (свернуть)

Задача № 2. Условие: Найти среднюю квадратическую погрешность определения поправки за наклон при измерении линии лентой. Значение линии получено с погрешностью 0.1 м и отношение поправки к наклонной линии 0.01.

Условные обозначения:
ΔD - поправка в линию за наклон
D - наклонное расстояние
S - горизонтальное проложение
m_X - средняя квадратическая погрешность величины X

Я считаю, что условие задачи сформулировано не совсем корректно, поскольку не уточнено, значение какой именно линии получено с погрешностью 0.1 м. Геодезической или наклонной? Под геодезической линией (кратчайшим расстоянием между точками на заданной поверхности) имеется в виду горизонтальное проложение, поскольку в данном случае задача решается на горизонтальной плоскости.

Предположим, значение наклонной линии получено с погрешностью 0.1 м.

Решение:
m_D = 0.1 м
ΔD/D = 0.01
m_ΔD = m_D ⋅ 0.01 = 0.001 м - ответ (???)


Предположим, значение горизонтального проложения получено с погрешностью 0.1 м.

Решение:
m_S = 0.1 м
ΔD/D = 0.01

m_S = √(m_D² + m_ΔD²)
m_D = m_ΔD / 0.01

m_S = √((m_ΔD / 0.01)² + m_ΔD²) = m_ΔD ⋅ √10 001
m_ΔD = m_S / √10 001 = 0.1 м / 100.005 = 0.001 м - ответ (???)

В случае, если решение верно, моё предположение о некорректности условия в данном случае практического смысла не имеет, поскольку результаты в обоих случаях равны 0.001 м.

Кстати, результат решения задачи №2 совпадает с результатом, полученным ранее. Но ход решения несколько отличается.

Первое решение задачи №2 (раскрыть) Первое решение задачи №2 (свернуть)

Хотя по сути - одно и то же, просто во втором решении сразу всё в СКП написано, а не в самих величинах, как в первом.

 

StudentX, абсолютная ошибка у Вас в задаче с полигоном стала хуже, а относительная стала лучше... Что то здесь не так...

 

А как можно говорить об абсолютной ошибке, если мы даже не знаем длин сторон полигона???

Что касается относительной ошибки. Длина полигона в 5 раз больше длины одной его стороны. На СКП определения длины полигона в равной степени влияют СКП измерения 5 отдельных сторон. То есть СКП определения длины длины полигона в корень квадратный из 5 раз больше. Изначально имеем 1/3000. Затем числитель мы умножаем на корень квадратный из 5 (т.к. в числителе СКП), а знаменатель на 5 (т.к. в знаменателе измеряемая величина). В итоге получаем относительную ошибку определения длины полигона меньше относительной ошибки определения длины отдельной стороны. Вот, собственно, ход моих мыслей при решении задачи. В чём же здесь может быть ошибка, я лично не вижу.

 

Ошибка одной стороны 1/3000. Всего 5 сторон, которые не зависимо измерены с этой ошибкой. Если источники ошибок не зависимы, то по правилам переноса ошибок мы должны сложить их квадраты и из суммы извлечь корень. Получаем корень из 5/9000000=корень(5)/3000=1/(3000:корень(5))

 

Получается относительная ошибка определения периметра полигона 1/1342... Попробуем перенести это на практику. Ведь даже несмотря на то, что это просто задача, ошибка измерения мерной лентой 1/3000 - это вполне себе реальное число. Представим, что мы не измеряем периметр полигона, а прокладываем замкнутый теодолитный ход, образующий такой же полигон, который описан в условии задачи №1. В этом случае помимо ошибок линейных измерений прибавятся ошибки угловых измерений. И что тогда? Ни в какие рамки и ни в какие допуски относительная ошибка хода не попадёт. Даже на 1/1000 может не потянуть, это запросто. Как тогда в этом случае?

 

Замкнутый ход уравнивается раздельно. На первом шаге идёт уравнивание углов, потом уже идёт обработка линий.

--- Сообщения объединены, 2 янв 2020 в 20:28, Оригинальное время сообщения: 2 янв 2020 в 20:24 ---

Хотя да... Абсолютная будет хуже, но при расчете относительной - абсолютная будет относиться уже не к стороне, а к периметру.

--- Сообщения объединены, 2 янв 2020 в 20:30 ---

Здесь я не прав, оставляя знаменатель неизменным.

 

Оффтоп

Это если есть привязка к двум исходным направлениям в разомкнутом ходе или если ход замкнутый. А если привязка есть только к одному исходному направлению в разомкнутом ходе? Такие случаи тоже бывают. Тогда ни о каком уравнивании углов при упрощённом способе уравнивания речи не идёт. Просто две невязки в координатах X и Y пропорционально длинам линий раскидывают в каждую точку теодолитного хода. Ну, нас по крайней мере так учили, я по этой теме отдельно как-то не искал в литературе.

--- Сообщения объединены, 2 янв 2020 в 20:51, Оригинальное время сообщения: 2 янв 2020 в 20:39 ---

А, мы же про замкнутый ход. Тогда ответ во вкладке "оффтоп" не соответствует теме Что-то я нить мысли потерял. Уравнивание углов может и не спасти ситуацию, скажем так. Относительная ошибка замкнутого хода при измерении его периметра с ошибкой 1/1342 всё равно даже в допуск 1/1000 может не попасть.

 

Замкнутый ход - это двумерная задача. Полигон ( = многоугольник; не важно, замкнут ли) - задача одномерная. Не усложняйте.

У вас одномерная случайная величина. По мере возрастания числа сторон ошибка нарастает. Как нарастает, было написано выше: пропорционально корню. Так что ее знаменатель
3000 / корень(5) = 1342.

Осмыслим. Цифра получилась выше всякого допуска, потому что "от обратного". Практически кто же знает ошибку отдельного измерения? Известны лишь невязки по всему ходу, а уж по ним вычисляют погрешности отдельных измерений, и все, что вычисляют - все оценочное, все носит статистический характер.

 

В плане усложнения - согласен. В плане изменения абсолютной ошибки - согласен. Но в задаче вопрос про знаменатель относительной ошибки. Не просто так сказано, что стороны приблизительно одинаковые... Думаю в этом весь и фокус этой задачки.

 

По второй задаче:
Погрешность целого 100мм; тогда погрешность 1/100 его части 1мм. Формально вроде так. Вопрос в другом: кому на хрен она нужна, ЭТА погрешность? Разве что для гибкости ума.

 

Хорошо, предположим, все 5 сторон полигона равны 60 м. Если относительная ошибка измерения одной стороны равна 1/3000, то СКП измерения одной стороны 60/3000 = 0.020 м. Если относительная ошибка определения периметра полигона равна 1/1342, то СКП определения периметра будет равна 1342/(60*5) = 0.224 м. Это противоречит тому, что СКП определения величины, зависящей от нескольких СКП источников ошибок (в данном случае источниками ошибок являются СКП измерений каждой отдельной стороны), равна корню квадратному из суммы квадратов СКП источников ошибок. То есть равенство 0.224 = √(5 * 0.020²) не будет верным. Как тогда это объяснить? У вас СКП измерения длины полигона из пяти сторон в 10 раз превышает СКП измерения одной стороны, а не в корень из 5 раз.

 

Обозначаем
А - измеренная величина, здесь в м
m -ее абсолютная ошибка, м
б = m / А -безразмерная отн ошибка

Для одного звена
б1 = 1/3000
m1 = б1*А1

Для n звеньев
n = 5
Среднекв погрешность
m^2 = n*m1^2

Относительная погрешность
б = (корень(n)*m1) / (n*А1) = (m1/А1)/корень(n) = б1/корень(n)
Знаменатель относительной погрешности
1/б = корень(n)/б1 = 6708
Вот так самоуверенность подшутила. Все нормально: относительная погрешность стала меньше, но закон ее изменения таков, что абсолютная все равно нарастает ~ корень(n)

--- Сообщения объединены, 3 янв 2020 в 15:51, Оригинальное время сообщения: 3 янв 2020 в 15:37 ---

А вам задание: подсчитать 1/б, m и А для разных n (1, 4, 5, 9, 16, 50, 100) при А1 = 30.

 

Оффтоп

Может быть, позже. Зимняя сессия скоро начнёт атаковать студентов по всем фронтам. А вообще, нашёл для себя хороший, на мой взгляд, задачник по геодезии, там и ответы с объяснением сразу же есть для самопроверки. Конечно, предназначен он для техникумов, но я не брезгую, скорее даже наоборот. Нынешнее образование в рядовых вузах сейчас по своему уровню, быть может, уже и ниже советского техникума. Получить хотя бы квалификацию, сопоставимую со старым средним специальным образованием, и то уже неплохо будет.