Типы линейно-угловых измерений

Попробуем?

Начнём с наиболее известной и чаще других применяемой обратной угловой засечки.
На рисунке несколько вариантов расположения определяемой точки, относительно трёх исходных пунктов. Для наглядности и сравнения, эллипсы погрешностей определения станции даны в одном масштабе. Ошибки определения меньше, если станция расположена между исходными пунктами (1) или недалеко за их пределами (2).
При удалении от исходных пунктов, ошибки определения положения станции возрастают (3, 4). Ещё хуже, если станция находится вблизи «опасной» окружности (5), проходящей через три исходных пункта. При расположении станции на «опасной» окружности задача не имеет решения (даже если на этой окружности расположены 4, 5… исходных пунктов).
Вопреки распространённому мнению, что в обратной засечке не должно быть острых углов, или станция (определяемый пункт) не должны находиться в створе с двумя исходными пунктами, на рисунке видно, что точки 2 и 4 находятся в створе с парой исходных пунктов и имеют вполне приемлемую точность определения. Нельзя располагать станцию в створе, если все исходные тоже находятся в этом же створе.


На этом рисунке показана обратная линейно-угловая засечка, когда определяемая точка находится вблизи «опасной» окружности. Кроме углов в каждом случае измерено по одной линии на исходный пункт.
На рисунке слева измерена линия 1-B (проходит через центр «опасной» окружности). Как видно, пользы (в смысле точности) это не принесло.
На рисунке справа измерена линия 2-D, что сразу заметно уменьшило ошибку определения положения точки 2. Всего-то одна дополнительно (в нужном месте) измеренная линия и нет никакой «опасной» окружности.


Засечка Ганзена (задача Ганзена).
На рисунке несколько вариаций на эту тему. Как и во всех засечках, ошибка определения во многом зависит от взаимного расположения исходных и определяемых пунктов. Ошибки определения меньше, если определяемые находятся ближе к исходным пунктам. Как и в обратной засечке, острые (или очень тупые) углы допустимы, но таковыми (острыми или тупыми) не должны быть все углы.


В отличие от обратной засечки, в засечке Ганзена нет «опасной» окружности. На рисунке слева все пункты расположены на окружности, но засечка даёт хорошее решение.
Зато есть «опасный» створ. На рисунке справа, несмотря на близкое расположение от исходных, ошибка определяемых пунктов слишком велика из-за «опасного» створа (все измеренные углы или слишком острые или слишком тупые). Когда один из определяемых находится далеко от створа, то второй может находиться в створе между исходными пунктами. Но если в створе расположены все пункты, то засечка не имеет решения. Исправить такую угловую засечку можно, дополнительно измерив любые две линии.


Засечка Дурнева. Применялась во времена (или в местах), когда измерения линий были проблематичны. В классическом виде это ход без измерения сторон, опирающийся концами на пары исходных пунктов, но возможны варианты с двумя или тремя исходными пунктами.
С исходных пунктов и с пунктов хода (1, 2, 3) выполняются измерения углов на связующие пункты вдоль хода и дополнительно засечки на вспомогательные цели (х1, х2, х3). Последовательным решением цепочки треугольников (по двум углам и одной стороне) вычисляются все длины сторон хода, и далее весь ход решается как обычно.

На рисунке висячий ход (бесконтрольный), опирающийся одним концом на два исходных пункта. Видно, как с удалением от исходных резко растут ошибки определения точек хода.
Выполнение измерений на дополнительные вспомогательные цели (y1, y2, y3) практически не повышают точности определения точек хода, но страхуют от грубых ошибок (просчётов) в измерениях. Какой ни есть, а всё-таки контроль.



Координатная привязка второго конца хода всего лишь на один пункт уже заметно повышает точность хода.



Классический вариант. Теодолитный ход опирается концами на пары исходных пунктов. Для большей надёжности засечки выполняются на дополнительные вспомогательные цели (y1, y2, y3), которые могут находиться по любую сторону хода, например рядом с х1, х2, х3.



Ход засечками Дурнева может опираться всего на два пункта – по одному пункту в начале и в конце. Такая координатная привязка может решаться по аналогии с засечкой Ганзена. Для одной из сторон принимается условная длина и дирекционный угол, после вычисления (условной длины и направления) замыкающей линии выполняется масштабирование и разворот всей цепочки по двум исходным пунктам (B, D).


Четырёхугольники без диагоналей.
Для решения одного такого четырёхугольника достаточно иметь длины двух смежных сторон и три измеренных угла. С целью контроля, обычно измеряются все четыре угла.
Цепочка из таких четырёхугольников может опираться на несколько исходных пунктов (не менее двух). В цепочке, в первом и последнем четырёхугольниках измеряются по две смежные стороны. В первом это необходимо для решения задачи, а в последнем для контроля вычислений сторон в цепочке. В промежуточных четырёхугольниках достаточно измерить одну сторону.
Четырёхугольники без диагоналей могут образовывать сплошные сети. При измерении всех сторон и всех углов, такие сети мало уступают по точности сетям из треугольников. Они могут быть предпочтительнее при измерениях прямоугольной строительной сетки или в условиях городской застройки (где вдоль улиц измерения возможны, а диагонали не измерить).


Прямая угловая засечка.
Условно различают две разновидности засечки, по способу их решения (по измеренным углам и по дирекционным углам). Но и тот и другой вид засечки могут решаться обоими способами. В каждом конкретном случае может быть выбран способ с наименьшим объёмом вычислений. На рисунке варианты засечки по измеренным углам (с пунктов A и B) и по дирекционным углам (с пунктов Bи C).



Угловые измерения с двух станций дают одно единственное (бесконтрольное) решение. В таком случае важно избегать слишком острых или тупых углов засечки при определяемой точке. Засечка с трех станций даёт уже три варианта решения. При этом в одном из вариантов можно допустить тупой или острый угол, если в двух других углы засечки удовлетворяют требованиям.
На рисунке три варианта раздельных вычислений засечки (1, 2, 3) и решение, полученное из совместного уравнивания всех трёх вариантов (4).


Боковая угловая засечка.
За название не ручаюсь. Так эту засечку называл один старый геодезист, который мне её и подсказал (чем очень тогда выручил). С тех давних пор мне не приходилось её встречать где-либо в учебниках и руководствах. Нечто похожее, но в графическом исполнении, применяется на мензульных съёмках.
На рисунке ход без измерения длин сторон, с минимальным объёмом измерений. Угловые измерения выполняются как в обычном теодолитном ходе, но с определяемых пунктов дополнительно измеряются углы на боковые пункты (L, M, N). От исходных пунктов вычисляются (и уравниваются) дирекционные углы всех сторон хода и направления на боковые пункты. Координаты определяемых пунктов могут быть последовательно вычислены по формулам «прямой угловой засечки по дирекционным углам». Например, пункт 1 вычисляется от пунктов Bи M, пункт 2 вычисляется от пунктов 1 и N и так далее.
На точность хода влияет удалённость боковых пунктов. Чем они дальше от точек хода, тем больше продольная ошибка (сравнить на рисунке варианты левый и правый).



На точность хода влияет не только удалённость боковых пунктов, но и их положение, относительно точек хода. Для боковых пунктов желательно использовать те, что расположены под прямым углом к направлению хода. Острые углы значительно снижают точность (на рисунке справа).



Точность хода может улучшиться, если с определяемых точек выполнять измерения не на один, а на несколько боковых пунктов.

Полярный метод определения координат (полярная засечка, полярка…).
Всем известный и широко применяемый метод определения координат, когда со станции на одном из исходных пунктов измеряются углы и расстояния на определяемые пункты. Точность полярных пунктов определяется точностью угловых и линейных измерений, а также удалением относительно исходного пункта, и не зависит от направления.
Как и во всех линейно-угловых измерениях, параметры эллипсов ошибок определения координат во многом зависят от соотношения точности угловых и линейных измерений. Для сравнения, справа на рисунке вариант измерений, где точность угловых измерений в 2 раза выше, а точность линейных в 2 раза ниже, чем на левом рисунке.



Внецентренная станция (обратная полярка, свободная станция…).
Как и в полярной засечке, измеряется один угол и одно расстояние, но, наоборот, с определяемого пункта измеряются два направления на два исходных пункта и расстояние до одного из них (обычно до ближайшего). Раньше такая засечка редко применялась из-за трудностей с её решением. Сейчас, с использованием встроенного ПО тахеометров, она решается легко и прямо в поле на станции. Точность определения внецентренной станции примерно такая же, как если бы она определялась с исходного пункта полярной засечкой. Но есть некоторые отличия (сравните на рисунке ошибки пунктов 1 и 3). При равных измеренных расстояниях до пункта А, точность определения пункта 1 выше. Ошибки пунктов 3 и 5 примерно одинаковы, хотя пункт 5 вдвое дальше от исходного пункта А. Точность определения внецентренной станции выше, когда станция расположена между исходными пунктами.
Для сравнения, справа на рисунке вариант измерений, где точность угловых измерений в 2 раза выше, а точность линейных в 2 раза ниже, чем на левом рисунке.



Внецентренная станция даёт хорошие по точности результаты решения, даже когда она находится в створе исходных пунктов.
Но точность резко снижается, если расстояние от станции до исходных пунктов примерно одинаково и оно значительно больше, чем расстояние между самими исходными.



Когда расстояние, измеренное до одного из исходных больше, чем расстояние между исходными пунктами, засечка имеет два варианта решения.



Где позволяет ситуация, из внецентренных станций может выстраиваться целая цепочка (ход, где измеряются угол и расстояние на задний пункт, и угол на удалённую цель). В висячих ходах могут накапливаться существенные ошибки, но с замыканием хода на твёрдый пункт точность его вполне приемлема.
На рисунке внизу, для сравнения, обычный теодолитный ход с двумя примычными углами на концах. Как видно из рисунка, точность ходов практически не отличается.

 

Метод линейных засечек.
Самая простейшая линейная засечка (1), когда определяемая точка связана с исходными пунктами всего двумя измеренными линиями. Засечка имеет два решения, симметричных створу А-В.
Цепочки из линейных засечек (варианты 2, 3, 4) напоминают трилатерацию, но для полноценной трилатерации не достаёт измерений B-4-5-6-Dи 7-8-9-10-11. Такие схемы тоже имеют право на жизнь, когда пункты очень нужны, а прямой видимости между ними нет.
В одиночной цепочке линейных треугольников (2) нет избыточных измерений. Лишь координатные условия исходных пунктов по концам создают некоторую избыточность, позволяющую выполнить оценку измерений в такой сети. Но надёжность такой оценки не велика.
В сдвоенной цепочке (3) вокруг пунктов 1, 2, 3 образуются центральные системы, что создаёт дополнительную избыточность измерений и позволяет получить более надёжную оценку точность сети.
Для сравнения вариант 4 с координатной привязкой только на два пункта. По сравнению со 2 и 3, эллипсы ошибок заметно больше.
Ну и вариант 5 для сравнения, где сеть трилатерации в виде рядов из линейных геодезических четырёхугольников. Сеть довольно жёсткая, с наименьшими ошибками из всех представленных вариантов.


Как можно сделать одну и ту же работу быстрее, точнее и проще.


Например, есть пара исходных пунктов, A и B, и надо привязать (или разбить) точки 1 и 2.
Вариант 1. Как когда-то всех учили, установить прибор (отцентрировать) на точке A, сориентироваться на точку B и выполнить измерения на точки 1 и 2.
Вариант 2. Оказалось, что с точки A нет видимости на 1 и 2. Выносим переходную точку C. Устанавливаем (опять центрируем) прибор на точке C, ориентируем на точку A, выполняем измерения на точки 1 и 2.

Вариант 3. Может оказаться так, что установка прибора затруднительна (A– стенной знак), или просто нет желания заниматься центрировками прибора над точками. Тогда сразу устанавливаем прибор (без всякой центрировки) там, откуда есть видимость на два исходных и на определяемые точки. Выполняем с внецентренной станции Cуглы и расстояния на все пункты (на B расстояние можно не измерять). Получилось проще, быстрее, точнее.
Вариант 4. Дополнительными измерениями расстояния и на исходный пункт Bможно ещё немного повысить точность определения точек 1 и 2.



Но и это ещё не всё. Пользуясь жизненным опытом (или предварительными расчётами) можно выбрать для станции более удачное место, тогда точность определения точек 1 и 2 получается ещё выше.


Прямая угловая засечка без ориентиров.
Особенность засечки в том, что угловые измерения выполняются только на определяемые пункты, прямая видимость между исходными пунктами отсутствует.
Бывают ситуации, когда между исходными пунктами нет прямой видимости, но есть несколько определяемых пунктов (целей), которые видны со всех исходных.
Для решения засечки необходимо иметь минимум три исходных и три определяемых пункта, а также измеренные углы с каждого из трёх исходных на три определяемых пункта. При включении в засечку дополнительных (исходных или определяемых) пунктов, имеем избыточность измерений, то есть контроль и оценку точности.
Как и все показанные выше схемы измерений, засечка без твёрдых ориентиров может быть решена в CREDO_DAT. Для решения достаточно указать (на экране) приблизительное местоположение определяемых относительно исходных. На рисунке слева показаны определяемые пункты 1, 2, 3, отмеченные «на глаз» до выполнения предобработки. Справа их исправленное местоположение после выполнения уравнивания.



В случае, когда три исходных пункта находятся в створе, засечка имеет два варианта решения. При четырёх пунктах (не важно, исходных или определяемых) только один вариант даёт решение с минимальными поправками в углы. Второй, «не правильный» вариант, или даёт очень грубое решение, или решение найти не удаётся вовсе.


На рисунке схема комбинированного хода (если можно так это называть), представляющего цепочку из линейно-угловых измерений. Применялось на практике при съёмке полосы местности с двумя помощниками (в два отражателя).

Процесс происходит примерно так. Станция на точке B с ориентированием на A. Выполняется съёмка, и на пределе видимости делаются измерения на две переходные (полярные) точки х1 и х2 (если нет нужды, точки можно не крепить, а воткнуть вехи с отражателями в грунт). Наблюдатель переходит и ставит прибор на точке 1 (если нет нужды, можно не крепить) и оттуда выполняет измерения углов и расстояний на х1 и х2. Далее продолжается съёмка в два отражателя полосы от х1, х2 до х3, х4. На х3 и х4 опять делаются переходные точки и после измерения на них наблюдатель с прибором переходит на следующую станцию (2). И так далее. В конце хода замыкание на точку C с примычным углом на D.
Процесс съёмки идёт быстрее, чем с традиционным теодолитным ходом (меньше станций – меньше затрат времени на установку и центрирование прибора). Для станций можно выбирать удобные места, с хорошим обзором. Стоять можно и в таких местах, где закрепление невозможно или будет недолговечно (на обочине дороги…). При необходимости, можно оставлять в полосе съёмки закреплённые точки, прихватывая их полярным способом или измеряя как на переходные точки (х).
Переходные (х-овые) точки можно располагать в створе (вдоль прорубленной визирки), но так, чтобы они не были рядом (желательно не менее 20 метров друг от друга).
Для комбинированного хода (верхний на рисунке) длиной 2.5 км по замыкающей B-C, при точности углов 5” и точности линий 5 мм, расчётная ошибка планового положения точки 2 (слабое место) составляет 23 мм.
Для сравнения, в традиционном ходе той же длины (нижний на рисунке) и с той же точностью измерений, расчётная ошибка планового положения точки 2 составляет 16 мм.



В завершение сериала о засечках и «не совсем стандартных» методов измерений осталось сказать, что все перечисленные выше схемы измерений могут применяться совместно, дополняя и подкрепляя одна другую. Всего не перечислить и не изобразить. Основные схемы (имеющие принципиальные отличия) я, как мне кажется, уже упомянул.
На этом у меня пока всё.
Если кому есть что добавить, дополняйте.

Обратная линейно-угловая засечка на 2 исходных пункта.
Примеры с внецентренной станцией, когда измерены направления на два исходных пункта и расстояние до одного из них ранее уже рассматривались.
На данном рисунке показаны несколько вариантов положения станции относительно двух исходных пунктов, на которые измерены оба расстояния и угол между ними.

Эллипсы вероятных ошибок наглядно показывают, что минимальные ошибки в определении планового положения будут, когда станция расположена в створе между исходными пунктами.

К вопросу о том, как точнее определяются координаты - полярной засечкой или обратной линейно-угловой с двумя исходными пунктами

и с тремя исходными пунктами

Во всех вариантах предварительных расчётов принимались одинаковые угловые и линейные СКО измерений.
Сравнить точность можно сравнением полученных эллипсов ошибок определяемых пунктов. Выводы делайте сами...

 

Для боковой угловой засечки сказано:

.
То есть ухудшается линейная точность хода? Получается, можно влиять на угловые и линейные ошибки хода, измеряя углы на разные по удалённости боковые пункты?

 

Оффтоп

Линии в таком ходе не измеряются, поэтому не корректно говорить о линейной ошибке. Ошибка - продольная.
Ход вытянутый. Ошибка поперек хода держится в рамках, благодаря измеренным направлениям назад и вперед. А вдоль хода ошибка начинает гулять с удалением бокового пункта. Чем дальше расположен боковой пункт, тем хуже мы на него наводимся.
ЮС,

 

Да, при большой удалённости боковых пунктов, увеличивается продольная ошибка определения пункта (поперечная ошибка, в основном, зависит от связующих углов в ходе). Продольные ошибки определения пунктов в ходе из боковых засечек скажутся и на линейной (абсолютной, относительной) ошибке всего хода.
Исполнитель может влиять на точность конечного результата своей работы, если будет со знанием дела выбирать оптимальную схему и методику измерений. Я пытаюсь здесь в сравнении показать достоинства и недостатки различных видов линейно-угловых измерений и предостеречь от "волчьих ям", где можно допустить большие ошибки. Конечно, всего не опишешь...

 

Видимо, надо внести уточнение. Lex K-G прав, говоря о не корректности, поскольку линии не измеряются. Под "линейной" я имел в виду ошибку определения (не измерения) расстояния между пунктами. В ходе из боковых засечек ошибка продольного сдвига отдельного пункта практически не зависима от ошибок соседних пунктов (не происходит накопления продольной ошибки хода, как в обычных теодолитных ходах). Хотя понятие "продольности" тут весьма условно (ход может быть изогнутым и даже замкнутым в кольцо).

 

Да, я тоже имел в виду ошибку определения расстояний. Ориентация и размер осей эллипса ошибок в данном построении, похоже, зависят не от удалённости боковых пунктов, а от разницы расстояний между пунктами в ходе и до боковых.
Почему точность наведения ухудшается с увеличением расстояния? Наоборот же должно быть.

 

Точность наведения не ухудшается. Дело в том, что засечка решается как бы по дирекционным углам, а при одинаковой ошибке дирекционного угла ошибка определения пункта тем больше, чем он дальше от исходного (бокового). Это как и в прямой угловой засечке, чем дальше определяемый от исходных, тем больше ошибка его определения.

 

Согласен, но при этом если боковой пункт далеко (дальше, чем смежная точка хода), то ошибка измерения на него направления должна быть меньше, чем на точку, из чисто практических возможностей наведения. Это может скомпенсировать ошибку из-за удалённости?

 

Раскрыть Спойлер Свернуть Спойлер

Принято считать, что на удалённые цели углы измеряются точнее. На самом деле, теодолиту или тахеометру безразлично, на каком расстоянии от него находятся цели. Наблюдателю тоже без разницы, если цели хорошо видны.
Горизонтальный угол «Цель1, ось инструмента, Цель2» может быть измерен с инструментальной точностью независимо от расстояния.
Но это не значит, что с такой же точностью будет измерен угол между центрами пунктов. Тут на точности измерений угла могут сказаться ошибки центрировки инструмента и редукции визирных целей. Поэтому и рекомендуется выбирать для ориентирования удалённые пункты, в этом случае величина редукции визирных целей (неучтённая или неизвестная) повлечёт меньшие ошибки.
Нормативы точности измерений, например, углов в триангуляции даются с учётом точности центрирования измерительных приборов и целей (ведь нет никакого смысла крутить десятки приёмов, добиваться сходимости направлений, но при этом стоять в стороне от центра).
В данной теме мы лишь сравниваем различные типы и схемы измерений, полагая, что центрировки и редукции в допустимых пределах.

На рисунке два варианта простейшей боковой засечки, с «близким» и «далёким» боковым пунктом C.
При одной и той же ошибке измерения угла на точке E, ошибка определения точки E вдоль направления B-D прямо пропорциональна расстоянию до бокового пункта.

 

Значит, для уменьшения продольных ошибок нужно стремиться наблюдать близкие боковые пункты с максимально возможной точностью, а не высматривать цели в нескольких километрах от хода. Для уменьшения поперечных ошибок нужно повышать точность угловых измерений в ходе и сокращать расстояния между исходными пунктами.

 

pathfinder, да, если у нас теодолит и, кроме как углы, больше ничего измерить не можем. Но если тахеометр, и можем измерять линии по ходу, то получается или цепочка из полярных засечек, или цепочка из внецентренных станций (или и то и другое вместе). Тогда картина в корне меняется, и ориентироваться можно хоть на бесконечно удалённые.
Исходя из ситуации можно и нужно применять разные методы и даже их совместное употребление.

 

Считал себя специалистом по засечкам, несколько лет применения, уже начал забывать о ходах. Но сейчас смотрю, я - просто ребенок :) !
Автору спасибо большое!

 

В данной подборке нет одной из самых интересных засечек: это засечка по двум пунктам. Засечка подробно описана в РГ-2 в разделе "Отыскание пунктов на местности".

 

В подборке ещё много чего нет. Всего не перечислить.
Кстати, задачка, что на вашем рисунке, решается и без измеренного базиса по створу - будет обычная засечка Ганзена.
Базис лишь несколько облегчает решение, ну и какой-никакой контроль, что есть плюс.

 

Я тоже хотел заметить, что это частный случай засечки Ганзена, когда один из пунктов лежит в створе, следовательно направления на вспомогательную точку и исходный пункт совпадают. Измерение базиса превращает это в комбинированную засечку. Если добавить еще одну вспомогательную точку и что-то там измерить, то можно говорить о линейно-угловой сети или о системе засечек. Есть еще очень много интересных и практически полезных комбинаций, ЮС описал основные "кирпичики" из которых можно собирать более сложные звенья.
Ув. Valang, если у Вас есть время, можете кратко описать преимущества засечки, которая приведена на схеме и область ее применения?

 

Вопрос к уважаемому ЮС. Возможно ли решение такой вот задачи?
Нужно определить координаты пунктов 1 и 2 только из угловых измерений.

 

Оффтоп

А почему только к уважаемому ЮС? Неуважаемый Lex K-G тоже хочет ответить;)
Задача решается методом последовательных приближений, во всяком случае в конфигурации, подобной схеме. Задаем предварительные координаты и уточняем их. В такой системе при расстояниях между пунктами порядка 1 км, при ошибке определения угла порядка 1' координаты пунктов 1 и 2 получаются с точностью порядка 2-3 см

Для строгого решения можно поизголяться, введя "виртуальные" угловые измерения на пунктах 1 и 2, делающие задачу решаемой в двух вариантах (1-2-D-C и 1-2-B-A) Составляем систему уравнений. Это для сообразительных и не ленивых.
А для тупых лентяев типа Лекса - все решается за пять итераций. Тупо, но необратимо;)

Интересный пример! Неожиданно, это уже из разряда экзотических засечек

 

Не решается она так. Пробовал. Составлял всякие системы уравнений, и ни одна система не решалась.
Задачу помню со второго курса, Маркузе Ю.И. на одном из семинаров, лукаво улыбаясь подбросил, грит, кто решит то сразу +2 бала (доб. бала) на экзамене.
Lex K-G, где можно ознакомится с решением?